Ориентация тройки векторов
Упорядоченная
тройка некомпланарных векторов называется
правой,
если, глядя с конца третьего вектора на
плоскость первых двух, мы видим поворот
от первого вектора ко второму по
кратчайшему
пути происходящим против часовой
стрелки. В противном случае тройка
называется левой.
Так, на рис. 1.16 тройка
является левой.
Свойства ориентации
1. {
– правая}
{
– левая}.
2. {
– правая}
{
– левая}.
3. {
– правая}
{
– правая}.
Перестановка упорядоченного множества называется циклической, если каждый его элемент ставится на место предыдущего (или последующего). Как мы видим, при цикличе-
Рис. 1.16 ской перестановке тройки векторов ее ориентация не меняется.
Базисные векторы
правого ортонормированного базиса
будем обозначать
(так же, как и в школе). В дальнейшем мы
будем использовать только прямоугольные
декартовы системы координат, как правило,
правые.
§ 3. Проекции
П
усть
в пространстве заданы плоскость
и прямая
,
не параллельная этой плоскости. Проекцией
произвольной точки
на плоскость
параллельно прямой
называется точка
пересечения плоскости
и прямой, проходящей через
параллельно
(рис. 1.17).
П
роекцией
произвольной точки
на прямую
параллельно плоскость
называется
точка
пересечения прямой
и плоскости, проходящей через
параллельно
(рис. 1.18). Проекцией множества точек на
плоскость (или на прямую) называется
множество проекций всех точек этого
множества на заданную плоскость (или
прямую). Если плоскость
и прямая
перпендикулярны, то проекции называются
ортогональными.
В дальнейшем мы будем рассматривать
только ортогональные проекции. В этом
случае проекция точки
на прямую совпадает с основанием
перпендикуляра, проведенного из точки
к этой прямой.
Пусть в пространстве
задана прямая
.
Если на ней выбрать направление с помощью
вектора
(
),
то прямая превратится в ось. Любой вектор
,
как и всякое множество, на эту ось можно
спроектировать. Полученный вектор будем
называть векторной проекцией вектора
на вектор
и обозначать
.
На рисунке 1.18
,
.
Алгебраической
проекцией
(или просто проекцией)
вектора
на
называется число
.
Проекции векторов обладают следующими свойствами.
1.
,
где
– угол между векторами
и
.
►
Если
острый угол, то (рис. 1.18)
;
если
– тупой, то (рис. 1.19)
.
Если же
-
прямой угол, то
.◄
2.
,
т.е. проекция суммы векторов равна сумме
их проекций.
►Выберем в
пространстве ортонормированный базис
так, чтобы
.
Если в этом базисе вектор
имеет координаты
,
то, нетрудно убедиться, что
(рис. 1.20).Тогда доказываемое свойство
вытекает из свойств координат векторов.◄
3.
,
т.е. при умножении вектора на число его
проекция умножается на это число.
Это свойство также вытекает из свойств координат векторов.
§ 4. Преобразования систем координат на плоскости
Параллельный
перенос. Параллельным
переносом называется
такое преобразование системы координат,
при котором координатные оси «старой»
и «новой» систем сонаправлены, т.е.
базисные векторы совпадают, а начала
координат разные (рис.1.20).
Выберем на плоскости произвольную точку
и обозначим
ее координаты в старой системе и
– в новой.
Пусть начало новой системы координат
– точка
– в старой системе имеет координаты
.
На рис. 1.20
,
значит,
(8)
Ф
ормулы
(8) и задают преобразование параллельного
переноса.
Преобразование
поворота.
При повороте системы координат начала
старой и новой систем совпадают, а
базисные векторы новой образуют с
базисными векторами старой некоторый
угол
.
Обозначим векторы старой системы, как
обычно,
и
,
а векторы новой –
и
(длины всех базисных векторов равны
единице). На рис. 1.21 видим:
,
.
Если
– произвольная
точка плоскости,
и
– ее
координаты соответственно в старой и
новой
системах координат, то
,
откуда, учитывая единственность координат в выбранном базисе, получаем
(9)
Формулы (9) задают связь старых и новых координат точки при преобразовании поворота.