Практическое занятие 2

АНАЛИТИЧЕСКая ГЕОМЕТРИя В ПРОСТРАНСТВЕ
1. Плоскость
№	Задание	Ответ
1	Составьте уравнение плоскости Р, проходящей через точку параллельно плоскости . Решение: В качестве нормального вектора искомой плоскости Р можно выбрать нормальный вектор плоскости и уравнение плоскости Р может быть записано в виде уравнения плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором : . После приведения к виду общего уравнения плоскости это уравнение принимает вид: .
2	Составьте уравнение плоскости Р, проходящей через точку перпендикулярно прямой L: решение: В качестве нормального вектора искомой плоскости выбираем направляющий вектор прямой L, имеющий компоненты из канонических уравнений данной прямой L. Уравнение плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором , имеет вид: .
3	Составьте уравнение плоскости Р, проходящей через точку перпендикулярно двум плоскостям и . РешЕНИЕ: По условию . Нормальный вектор искомой плоскости должен быть перпендикулярен нормальным векторам плоскостей и. В качестве такого вектора можно выбрать их векторное произведение: Уравнение искомой плоскости имеет вид: .
4	Составьте уравнение плоскости Р , проходящей через три точки Решение: Если M(x,y,z) - текущая координата плоскости, то уравнение плоскости получается как следствие компланарности векторов , то есть равенства нулю их смешанного произведения:
5	Найдите отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях. Решение: Приведем уравнение плоскости к виду уравнения плоскости "в отрезках": отсекаемые плоскостью на осях ox, oy, oz соответственно.	-4; 3; 0,5
6	Составьте уравнение плоскости Р, параллельной вектору и отсекающей на координатных осях отрезки . Решение: Уравнение искомой плоскости "в отрезках" имеет вид: Приведение его к общему виду дает плоскость с нормальным вектором Из условия перпендикулярности векторов : , и уравнение плоскости принимает вид: .
7	Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку и отсекающей от осей координат положительные и равные отрезки. Решение: Уравнение плоскости, отсекающей от осей координат положительные и равные отрезки а, имеет вид: Так как плоскость проходит через точку, и уравнение плоскости принимает вид: .
8	Найдите угол между плоскостями и . Решение: Один из двух смежных углов (острый) между плоскостями равен углу между их нормальными векторами и находится из их скалярного произведения:
9	Найдите уравнение плоскости, проходящей через точки и перпендикулярно к плоскости Решение 1: Составим систему уравнений. Первое уравнение представляет уравнение плоскости, проходящей через точку М с нормальным вектором . Второе – условие прохождения этой плоскости через точку N. Третье – условие перпендикулярности этой плоскости и заданной плоскости с нормальным вектором . Получили однородную систему уравнений для определения А, В, С: Условие существования решения системы приводит к уравнению искомой плоскости: РЕШЕНИЕ 2. Вектор нормали ищем в виде , где . Тогда . Получаем уравнение плоскости .
10	Приведите уравнение плоскости к нормальному виду и объясните смысл коэффициентов при неизвестных. Решение: В нормальном уравнении плоскости коэффициенты представляют собой направляющие косинусы единичного вектора нормали к этой плоскости, р – расстояние от начала координат до плоскости. Общее уравнение плоскости с нормальным вектором приводится к нормальному виду путем умножения на нормирующий множитель знак которого противоположен знаку D. В данной задаче и уравнение плоскости принимает следующий нормальный вид: .
11	Найдите расстояние от заданной точки до плоскости . Решение: Расстояние от точки до плоскости с нормальным вектором равняется . Здесь , то есть начало координат и точка находятся по одну сторону от плоскости. Искомое расстояние равно	3
12	Составьте уравнение плоскости, которая делит пополам двугранный угол, образованный двумя пересекающимися плоскостями: и Решение: Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую их пересечения: . Выберем из них две, имеющие нормальные векторы, параллельные . 1) , откуда , положив , получаем уравнение первой плоскости в виде ; 2) , откуда , положив , получаем уравнение первой плоскости в виде .
2. Прямая
13	Прямая L задана общими уравнениями Напишите канонические уравнения этой прямой и её уравнения в виде проекций на координатные плоскости. Решение: Решим задачу двумя способами. 1-й способ. Найдем произвольную точку, лежащую на прямой, предположив, что x = 0, тогда из системы, задающей прямую двумя уравнениями плоскости, найдем, что y = 2 и z = 2. Точка . В качестве направляющего вектора прямой можно выбрать вектор , так как он будет перпендикулярен как , так и : и канонические уравнения прямой принимают вид: и могут быть записаны в виде проекций на координатные плоскости следующим образом: 2-й способ. Из общих уравнений прямой L , исключая y и x в системе, получим уравнения прямой в проекциях на плоскости xoz и yoz: Из этих уравнений и канонические уравнения прямой можно записать в виде
14	Докажите параллельность прямых Решение: Направляющий вектор прямой имеет вид: . Направляющий вектор прямой может быть выбран в виде векторного произведения нормальных векторов двух пересекающихся плоскостей Прямые и параллельны, так как компоненты их направляющих векторов пропорциональны: .
15	Определите угол между прямыми Решение: Угол между направляющими векторами прямых и определяется из значения их скалярного произведения:
16	Найдите уравнения прямой, проходящей через точку и пересекающей ось ox под прямым углом. Решение: Уравнение искомой прямой можно записать в виде уравнения прямой, проходящей через две точки и : . По условию Вторую точку находим из условия, что прямая перпендикулярна оси ox и пересекает ее, то есть и уравнение искомой прямой принимает вид:
17	Составьте параметрические уравнения прямой L, проходящей через точку параллельно прямой Решение: В качестве направляющего вектора искомой прямой L можно взять направляющий вектор прямой : , так как прямые L и параллельны по условию; канонические уравнения прямой могут быть приведены к параметрическому виду, если приравнять входящие в них отношения значению параметра t:
18	Напишите канонические уравнения прямой L, проходящей через точку параллельно прямой Решение: Прямая L, параллельная прямой , будет перпендикулярна нормальным векторам плоскостей, образующих прямую , то есть и канонические уравнения прямой L принимают вид:
19	Определите, при каком значении прямые пересекаются. Решение 1: По условию прямая проходит через точку , а прямая - через точку . Условием пересечения двух прямых будет условие компланарности векторов , которое можно записать виде: то есть откуда Решение 2: Решим систему . Получаем . Подставим в последнее уравнение с l: .	3
20	Составьте уравнение прямой, проходящей через точку , пересекающей прямую и перпендикулярную прямой Решение 1: Уравнение искомой прямой . Она лежит в одной плоскости с прямой , проходящей через точку , то есть и перпендикулярна прямой с направляющим вектором . Условие перпендикулярности прямых заключается в равенстве Решим систему для определения Выражая через найдем при таким образом, и уравнение искомой прямой L имеет вид: Решение 2: Рассмотрим пучок прямых: . Из условия перпендикулярности имеем . Условие пересечения даёт систему: или . Из системы следует . Таким образом, в качестве направляющего вектора можно взять вектор . L:
3. Прямая и плоскость
21	Найдите точку пересечения прямой и плоскости Решение: Для определения координат точки пересечения запишем уравнения прямой L в параметрическом виде: . Подставляя эти выражения в уравнение плоскости Р, получим уравнение для определения значения параметра t, соответствующего точке их пересечения: следовательно, координаты искомой точки	(2,-3,6)
22	Составьте уравнение плоскости Р, проходящей через данную прямую L и точку , если прямая задана параметрическими уравнениями. Решение 1: Перейдем к каноническим уравнениям прямой . Чтобы записать уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую L, и выбрать из него искомую плоскость, проходящую через точку , составим уравнение прямой L в виде ее проекций на плоскости xoy и xoz. Из канонических уравнений получим Уравнение пучка плоскостей через прямую L имеет вид: Так как плоскость проходит через точку , подставим ее координаты в уравнение пучка плоскостей и найдем значение , определяющее искомую плоскость , и уравнение плоскости Р будет иметь вид: Решение 2: Найдем на прямой две точки, например, и , откуда и . Из уравнения плоскости, проходящей через три точки ,,, получаем
23	Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой Решение 1: Запишем уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую : Выберем из всех плоскостей с нормальными векторами ту, которая параллельна направляющему вектору прямой , равному . Нормальный вектор плоскости , перпендикулярен и удовлетворяет условию : . Из этого уравнения находим значение , при котором уравнение искомой плоскости принимает вид: . Решение 2: Найдем нормальный вектор искомой плоскости как векторное произведение направляющих векторов прямых. ; ; . Найдем произвольную точку на Положим , из найдем . Уравнение плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором имеет вид:
24	Составьте уравнение плоскости Р, проходящей через прямую перпендикулярно к плоскости Решение: Уравнение прямой L в проекциях: Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую L, имеет вид: с общим нормальным вектором , зависящим от параметра. Условие перпендикулярности искомой плоскости и плоскости с имеет вид: и дает значение , при котором получается уравнение плоскости Р в виде
25	Найдите уравнения проекции прямой на плоскость Решение: Запишем уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую L, уравнение которой в проекциях имеет вид: Плоскость из этого пучка, проектирующая эту прямую L на плоскость Р, определится из условия перпендикулярности этих плоскостей с нормальными векторами откуда При этом значении получаем уравнение проектирующей плоскости , а проекцией прямой L на плоскость Р будет линия пересечения двух плоскостей или в каноническом виде:
26	Найдите проекцию точки на плоскость Решение 1: Проекцией точки M на плоскость Р будет точка пересечения прямой L, проходящей через точку М перпендикулярно к плоскости Р. Уравнение перпендикуляра через точку М будет иметь вид: и координаты проекции найдем, подставив в уравнение плоскости Р: Решение 2: Координаты точки проекции можно найти непосредственно решая систему .	(1,4,-7)
27	Найдите 1) проекцию точки на прямую , 2) расстояние от точки до этой прямой, 3) Запишите уравнение перпендикуляра из точки на прямую , 4) Найдите точку N , симметричную точке относительно прямой Решение: 1) Из условия и уравнение плоскости Р, перпендикулярной к прямой L и проходящей через точку M, имеет вид: координаты точки пересечения этой плоскости с прямой находим из уравнения . Координаты точки пересечения прямой и плоскости дадут координаты проекции точки М на плоскость , 2) Способ 1. Искомое расстояние равно расстоянию между точкой и ее проекцией на прямую – точкой : , Способ 2. Расстояние от точки до прямой можно найти по формуле: . 3) Уравнение перпендикуляра из точки на прямую напишем как уравнение прямой, проходящей через две точки и : , , 4) Для того чтобы найти координаты точки N, заметим, что точка О делит отрезок MN пополам и
28	Найдите 1) расстояние от точки до плоскости , 2) найдите координаты точки N, симметричной точке относительно плоскости Решение: 1) Способ 1.Уравнение прямой, проходящей через точку , перпендикулярно к плоскости Р с , можно записать в виде Проекцию точки М на плоскость Р находим как точку пересечения прямой и плоскости откуда Искомое расстояние ; Способ 2. Расстояние находим по известной формуле (см. № 11) . Координаты искомой точки удовлетворяют системе , из которой получаем . В результате имеем две точки: и . Вторая точка не подходит, так как отстоит от плоскости на . 2) аналогично и