§ 3. Переходы в поле, зависящем от времени

В аммиачном мазере пучок молекул в состоянии |7> и с энергией Е_I пропускается через резонансную полость, как по­казано на фиг. 7.4.

Фиг. 7.4. Схематическое изображение аммиачного мазера.

Другой пучок отводится прочь. Внутри полости существует меняющееся во времени электрическое поле, так что нашей очередной задачей явится изучение поведе­ния молекулы в электрическом поле, которое меняется во вре­мени. Это совершенно новый род задач — задача с гамильто­нианом, меняющимся во времени. Раз H_tj зависит от , то и h_ij меняется во времени, и нам надлежит определить поведе­ние системы в этих обстоятельствах.

Для начала выпишем уравнения, которые нужно решить:

Для определенности положим, что электрическое поле меня­ется синусоидально; тогда можно написать

На самом деле частота  берется всегда очень близкой к резо­нансной частоте молекулярного перехода ₀=2A/h, но пока мы для общности будем считать  произвольной. Лучший спо­соб решить наши уравнения — это, как и прежде, составить из C₁ и С₂ линейные комбинации. Сложим поэтому оба урав­нения, разделим на у 2 и вспомним определения С_I и С_II из (7.13), Получим

Вы видите, что это похоже на (7.9), но появился добавочный член от электрического поля. Равным образом, вычитая урав­нения (7.36), получаем

Вопрос теперь в том, как решить эти уравнения. Это труд­нее, чем прежде, потому что  зависит от t; и действительно, при общем  (t) решение не представимо в элементарных функ­циях. Однако, пока электрическое поле мало, можно добиться хорошего приближения. Сперва напишем

Если бы электрического поля не было, то, беря в качестве _I и _II две комплексные постоянные, мы бы получили пра­вильное решение. Ведь поскольку вероятность быть в состоя­нии |/ > есть квадрат модуля C_I, а вероятность быть в состоя­нии |II> есть квадрат модуля С_II, то вероятность быть в со­стоянии |I> или в состоянии |II> равна просто |_I|² или |_II|². Например, если бы система начинала развиваться из состояния |II> так, что _I было бы нулем, a |_II|²— единицей, то эти условия сохранились бы навсегда. Молекула из состояния |II> никогда бы не перешла в состояние |I>.

Польза записи решений в форме (7.40) состоит в том, что оно сохраняет свой вид и тогда, когда есть электрическое поле, если только  меньше А, только _I и _II при этом станут мед­ленно меняющимися функциями времени. «Медленно меняю­щиеся» означает медленно в сравнении с экспоненциальными функциями. В этом весь фокус. Для получения приближен­ного решения используется тот факт, что _I и _II меняются медленно.

Подставим теперь С_I из (7.40) в дифференциальное уравне­ние (7,39), но вспомним, что _I тоже зависит от t. Имеем

Дифференциальное уравнение обращается в

Равным образом уравнение для dC_II/dt обращается в

Обратите теперь внимание, что в обеих частях каждого урав­нения имеются одинаковые члены. Сократим их и умножим первое уравнение на

а второе на

. Вспоминая, что (E_I- e_ii)=2А=h₀, мы в конце концов получаем

Получилась довольно простая пара уравнений — и пока еще точная. Производная от одной переменной есть функция от времени, умноженная на вторую переменную; про­изводная от второй — такая же функция от времени, умножен­ная на первую. Хотя эти простые уравнения в общем не реша­ются, но в некоторых частных случаях мы решим их.

Нас, по крайней мере сейчас, интересует только случай ко­леблющегося электрического поля. Взяв (t) в форме (7.37), мы увидим, что уравнения для _I и _II обратятся в

(it

И вот если ₀ достаточно мало, то скорости изменения _I и _II тоже будут малы. Обе у не будут сильно меняться с t, особен­но в сравнении с быстрыми вариациями, вызываемыми экспо­ненциальными членами. У этих экспоненциальных членов есть вещественные и мнимые части, которые колеблются с частотой +₀ или -₀. Члены с частотой +₀ колеблются вокруг среднего значения (нуля) очень быстро и поэтому не дадут сильного вклада в скорость изменения . Значит, можно сде­лать весьма разумное приближение, заменив эти члены их средним значением, т. е. нулем. Их просто убирают и в каче­стве приближения берут

Но даже и оставшиеся члены с показателями, пропорциональ­ными (-₀), меняются быстро, если только  не близко к ₀. Только тогда правая сторона будет меняться достаточно мед­ленно для того, чтобы набежало большое число, пока интег­рируешь эти уравнения по t. Иными словами, при слабом электрическом поле изо всех частот представляют важность лишь те, которые близки к ₀.

При тех приближениях, которые были сделаны для того, чтобы получить (7.45), эти уравнения можно решить и точно; но работа эта все же трудоемкая, и мы отложим ее на другое время, когда обратимся к другой задаче того же типа. Пока же мы их просто решим приближенно, или, лучше сказать, найдем точное решение для случая идеального резонанса =₀ и приближенное — для частот близ резонанса.