Частные случаи

1. Прямая, перпендикулярная горизонтально проецирующей плоскости П (П₁) (рис. 4.17), является горизонталью и на комплексном чертеже:

Рис. 4.17

1) h_{1 1}; h₂ (A₁,A₂); 2) К(К₁К₂) = h ; 3) | А₁К₁ | = | АК | - расстояние от точки А до плоскости .

2. Прямая, перпендикулярная фронтально проецирующей плоскости (₁) (рис. 4.18), является фронталью и на комплексном чертеже:

Рис. 4.18

1) f₁ (A₁,A₂); f_{2 2}; 2) К(К₁,К₂) = f ; 3) | А₂К₂ | = | АК | - расстояние от точки А до плоскости .

3. Прямая, перпендикулярная горизонтальной или фронтальной плоскости уровня, является соответственно горизонтально или фронтально проецирующей прямой.

Взаимно перпендикулярные прямые общего положения

Если стороны прямого угла являются прямыми общего положения, то прямой угол на каждую из трех плоскостей проекций (П₁,П₂, и П₃) проецируется с искажением (частные случаи рассмотрены в начале главы). При построении проекций такого угла следует исходить из следующих положений: 1) если две прямые взаимно перпендикулярны, то через каждую из них можно провести плоскость, перпендикулярную к другой прямой; 2) если прямая перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей этой плоскости. Таким образом, построение взаимно перпендикулярных прямых общего положения в конечном счете сводится к построению плоскости, перпендикулярной к заданной прямой общего положения. Рассмотрим решения некоторых задач. 1. Построить прямую a, перпендикулярную заданной прямой n общего положения. Рис. 4.19

Чтобы построить прямую, перпендикулярную к данной прямой, необходимо провести плоскость, перпендикулярную к этой прямой, и в этой плоскости провести любую прямую. Решение задачи дано на чертеже (рис. 4.19). Через произвольную точку А пространства проведена плоскость (h f) n, и в этой плоскости построена произвольная прямая а(а₁, а₂). Прямая а n, так как а n. 2. Из точки А опустить перпендикуляр на прямую b общего положения. Решение задачи дано на чертеже (рис. 4.20). Рис. 4.20

Искомая прямая (АК) b является результатом пересечения двух плоскостей: плоскости b, проходящей через точку А, и плоскости , проходящей через прямую b и точку А. Задача относится к числу комплексных, подробное объяснение ее решения дано в разделе "Комплексные задачи".

Взаимно перпендикулярные плоскости

Если плоскость проходит через прямую линию, перпендикулярную к другой плоскости (или параллельна этой прямой), то она перпендикулярна к этой плоскости. Следовательно, плоскость , перпендикулярную данной плоскости , можно построить:

1) либо как плоскость, проходящую через прямую, перпендикулярную плоскости ; 2) либо как плоскость, перпендикулярную одной из прямых, принадлежащих плоскости .

В обоих случаях задача имеет бесчисленное множество решений, если на плоскость не наложено каких-либо дополнительных условий. Рис. 4.21

На чертеже (рис. 4.21) плоскость (m n) (а b) проведена через прямую m(m₁,m₂), перпендикулярную плоскости (а b). Прямая n(n₁,n₂), пересекающая прямую m в точке М, выбрана произвольно. Примечание. Если требуется провести плоскость , перпендикулярную данной плоскости (а b) и проходящую через заданную прямую n(n₁,n₂), то плоскость является единственным решением. На чертеже (рис. 4.22) плоскость (h b) (a b) проведена перпендикулярно прямой b(b₁,b₂), принадлежащей плоскости , и задана поэтому горизонталью h[h₁ b₁, h₂ (М₁М₂)] и фронталью f[f₁ (М₁М₁), f₂ b₂]. Рис. 4.22

Примечания: 1. Если плоскость (h f) провести перпендикулярно горизонтали, принадлежащей плоскости (а b), то плоскость расположится перпендикулярно к плоскостям и П₁ т. е. будет горизонтально проецирующей. 2. Если плоскость (h f) провести перпендикулярно фронтали, принадлежащей плоскости (а b), то плоскость расположится перпендикулярно к плоскостям и П₂, т. е. будет фронтально проецирующей. Плоскость, перпендикулярная одновременно двум заданным плоскостям, может быть построена: 1) либо как плоскость, перпендикулярная линии их пересечения; 2) либо как плоскость, проходящая через перпендикуляры к ним, построенные из одной точки пространства.