4.2. Задачи, в которых определяются общие элементы (точки или линии) геометрических фигур

 

4.2.1. Определение общих элементов простейших геометрических фигур из условия принадлежности. (Вспомогательные позиционные задачи) 4.2.2. Первая позиционная задача (построение точек пересечения линии и поверхности) 4.2.3. Вторая позиционная задача (построение линии пересечения двух поверхностей) 4.2.4. Способ вспомогательных сфер 4.2.5. Особые случаи пересечения поверхностей второго порядка

Задачи этого типа делятся на первую и вторую позиционные. К первой позиционной относятся все задачи, в которых определяются точки (одна или несколько) пересечения линии и поверхности. Ко второй позиционной - все задачи, в которых определяется линия (одна или несколько) взаимного пересечения двух поверхностей.

4.2.1. Определение общих элементов простейших геометрических фигур из условия принадлежности (Вспомогательные позиционные задачи)

Задача 1. Построение точки пересечения прямой линии с проецирующей плоскостью. Пусть даны горизонтально проецирующая плоскость и прямая l общего положения (рис. 4.23, а). Точка К пересечения прямой l с плоскостью принадлежит одновременно и прямой l и плоскости . Следовательно, горизонтальная проекция К₁ точки К должна принадлежать одновременно горизонтальной проекции l₁ прямой l и горизонтальной проекции ₁ плоскости , т. е. К₁ = l_{1 1} (рис. 4.23, б). Фронтальная проекция К₂ точки К находится по линии связи на фронтальной проекции l₂ прямой l на основании принадлежности точки К прямой l. Рис. 4.23

Если даны фронтально проецирующая плоскость и пересекающая ее прямая m общего положения (чертеж задайте самостоятельно), то К_{2 2} и К₂ m₂, т. е. К₂ = ₂ m₂; К₁ находится по линии связи из условия, что К₁ m₁. Проделайте это построение на чертеже.

Задача 2. Построение линии пересечения плоскости общего положения с проецирующей плоскостью. Пусть даны плоскость Г(а b) общего положения и горизонтально проецирующая плоскость (рис. 4.24). Искомая линия k пересечения двух плоскостей Г и является прямой и, следовательно, определяется двумя точками 1 и 2, одновременно принадлежащими этим плоскостям. Рис. 4.24

Найдем точки 1 и 2 как точки пересечения прямых а и b, задающих плоскость Г, с плоскостью : l = а и 2 = b , т. е. дважды решим предыдущую задачу. Горизонтальные проекции 1₁ и 2₁ точек 1 и 2 определяют горизонтальную проекцию k₁ прямой k(k₁ = ₁). Соединив прямой фронтальные проекции 1₂ и 2₂, получим фронтальную проекцию k₂ искомой прямой k. Если даны плоскость Г(а b) общего положения и фронтально проецирующая плоскость (чертеж задайте самостоятельно), то для построения линии k(1, 2) = Г найдем точки 1 = а и 2 = b . Проделайте это построение самостоятельно.

Задача 3. Построение линии пересечения двух проецирующих плоскостей. а) Даны две фронтально проецирующие плоскости и (рис. 4.25a). Требуется построить линию k= . Линией пересечения двух фронтально проецирующих плоскостей является фронтально проецирующая прямая, следовательно, k₂ = _{2 2}, k₁ совпадает с линией связи. Рис. 4.25

б) Даны горизонтально проецирующая плоскость и фронтально проецирующая плоскость Г. Определить линию k = Г (рис. 4.25, б). Из условия принадлежности линии k одновременно плоскостям и Г имеем: k₁ = ₁ и k₂ = Г₂