4.8 Распределение поверхностных зарядов по периметру цилиндра меньшего радиуса
В
точках на поверхности провода (цилиндра)
кругового сечения, являющейся поверхностью
равного потенциала, линии вектора Е
нормальны к этой поверхности и,
следовательно вектор Е имеет на этой
поверхности только радиальную
составляющую, т.е. Е=Еr.
Поэтому, для определения значений Е в
точках на поверхности провода удобнее
перейти к цилиндрической системе
координат, совмещая ось OZ
с осью рассматриваемого цилиндра,
радиусом R1
(рис. 9).
Учитывая,
что
Получим:
тогда произведение r1· r2 будет равно:
Так
как
,а
, то
Так
как
,
то получим:
Следовательно, на поверхности первого провода будем иметь:
Итак,
|
|
|
(39) |
Из полученного
выражения, в частности, следует, что
наибольшее значение
будет при
,
когда
.
В этом случае получим:
что совпадает с результатом, полученным в предыдущем разделе.
Искомая поверхностная плотность зарядов будет равна:
|
|
|
(40) |
Подставляя в (40) численные значения ε0, b, U0, R1 и h1, получим искомую зависимость σ(α) ,которое будет иметь вид, представленный на рисунке 10.
Рисунок 10
4.9 Поток вектора
сквозь поверхность S,
ограниченную четвертью периметра
сечения провода меньшего радиуса (между
точками А1
и А2)
на длине ℓ0=100
м.
В точках на поверхности цилиндра меньшего радиуса мы получили, что
Следовательно, искомый поток будет равен (рис.6):
где
Так
как
,
то получим:
Следовательно,
Итак
|
|
|
(41) |
Если
учесть, что
,
то
Если
рассматривать, что
,
то
Где qℓ- заряд на длине ℓ0: qℓ= ℓ0∙τ.
Для уединённого провода h1→∞ (или при R1<<h1, когда смещением электрических осей можно пренебречь), получим:
тогда
т.е. это есть поток через ¼ замкнутой поверхности вокруг рассматриваемого цилиндра.
4.10 Сила притяжения цилиндров (проводов)
В разделе 4.2 мы получили (формула 32) общее выражение для ёмкости рассматриваемой системы проводов на единицу длины:
где
Следовательно,
Энергия электрического поля системы на единицу равна
где
Поскольку D- расстояние между геометрическими осями проводов - является обобщённой координатой, которая может изменяться под воздействием силы, действующей на цилиндры, то эту силу можно определить по формуле:
|
|
|
(*) |
Найдём производную. Поскольку h1= h1(D) и h2= h2(D), то
|
|
|
(**) |
где,
Следовательно,
Значит,
Аналогично получим
Подставляя найденные значения производных в (**) и учитывая, что
получим:
Подставляя найденную производную в (*), получим:
|
|
|
(42) |
где знак «-» указывает на то, что действующая сила стремится уменьшить обобщённую координату D (расстояние между геометрическими осями цилиндров).
Заметим, что если провода будут одинаковыми (R1=R2=R), то одинаковыми будут величины h1=h2=h. Тогда будем иметь:
Следовательно, сила будет равна
|
|
|
(43) |
Если, кроме того провода будут тонкими, т.е. (R<<h или R<<D), то смещением электрических осей можно будет пренебречь, тогда b=h и получим:
|
|
|
(44) |
|
|
|
|
