§ 34. Азимутальные проекции

Общее понятие об азимутальных картографических проекциях и их общих свойствах дано в § 33. Рассмотрим здесь конкретные виды азимутальных проекций с преимущественным вниманием к тем из них, которые используются в учебной картографии. Различают перспективные и неперспективные азимутальные проекции.

Внешний облик картографических сеток и распределение иска­жений в перспективных азимутальных проекциях зависят от поло­жения центра проектирования, т. е. точки пространства, от которой исходят проектирующие лучи. Рассмотрим эти различия на при­мере нормальных картографических сеток (рис. 147). Центр проек­тирования с поверхности шара (глобуса) на касательную плоскость Р может быть расположен в самом центре шара (К\), на его поверх­ности, в точке, противоположной точке касания картинной плос­кости и глобуса (Кг); она может быть также вне шара, на продолже­нии полярной оси глобуса (Кз) и, наконец, на продолжении той же оси в бесконечности (К*).

Если точка К расположена в центре шара, проекция называется центральной, а ее нормальная сетка имеет вид, изображенный в ле­вой половине рисунка 148. Хотя на рисунке изображена лишь 1/4 часть получаемой картографической сетки, ее особенности отчетливо видны. По значительному увеличению отрезков меридианов на этой сетке можно заключить, что показатели искажения длин по радиусам (по меридианам) m с удалением от центра сильно возрастают. Не­сколько менее, но так же интенсивно увеличиваются радиусы парал­лелей на проекции, а следовательно, и показатели искажений длин п. Эти искажения влекут за собой и очень большие искажения пло­щадей. В каждой точке карты ш не равно 0°, поэтому и формы ис­кажены. Все эти виды искажения иллюстрируют эллипсы искаже­ний, а по сумме свойств проекцию относят к произвольным.

• Проекция примечательна тем, что является одной из древней­ших. Впервые ее применил для карты звездного неба в IV в. до н. э. древнегреческий философ Фа-лес. Если с Земли рассматривать небесный свод, то кажется, что находишься в центре сфериче­ской поверхности, т. е. видишь небесные светила в центральной

проекции.

При проектировании из точки на поверхности шара, противопо­ложной месту касания картинной

&чу/

Рис. 148. Построение и типичный вид нормальных картографических сеток в центральной азимутальной (слева) и азимутальной стереографической (справа) проекциях с эллипсами искажений

плоскости (/С₂), получается стереографическая картографическая сетка (на правой половине рис. 148). По своим свойствам эта сетка равноугольная, а искажения длин и площадей у нее меньше, чем в проекции центральной. В пределах карты полушария в каж­дой точке ш = п, изменяясь от 1 в центре до 2 на краю. Соответ­ственно показатель искажения площадей Р увеличивается в том же направлении от 1 до 4.

На рисунке 149 представлена стереографическая поперечная ази­мутальная картографическая сетка.

В поперечной стереографической сетке меридианы и параллели имеют форму дуг окружностей, а промежутки отрезков экватора и среднего меридиана от центра к краю увеличиваются примерно в два раза. В этой сетке, как и в нормальном варианте, показатели а и b (равные между собой в каждой точке) изменяются от 1 в центре до 2 на краю полушария.

Стереографическая проекция также известна с глубокой древ­ности. Ее разработал астроном Гиппарх во II в. до н. э. С тех пор она применялась широко вплоть до первой четверти нашего сто­летия для карт восточного и западного полушарий.

158

На рисунке 150 показано проектирование нормальной азимуталь­ной ортографической сетки с центром проектирования Ка, располо­женной бесконечно далеко от шара и картинной плоскости.

Ортографическая картографическая сетка образуется при про­ектировании из бесконечности, когда проектирующие лучи парал­лельны друг другу (и полярной оси глобуса). Как видно на рисун­ке 150 промежутки между параллелями в этой проекции сильно уменьшаются к краю карты полушария. Следовательно, показатели искажения длин по меридианам также в этом направлении уменьша­ются (теоретически они изменяются от 1 в центре до 0 на краю кар­ты) . В то же время радиусы параллелей на проекции равны их радиусам на глобусе, т. е. длина параллелей при проектировании не изменяется и вдоль них нет искажения длин (п=\).

Это значит, что в данной проекции т = 6; п = а; 0<р<1.

РИС. 149. Картографическая сетка в азимутальной поперечной стереографической Проекции

159

Рис. 150. Построение и типичный вид нормальной картографической сетки в ортографической азимутальной проек­ции с эллипсами искажений

Проекция имеет искажения углов, которые сильно возрастают к кра­ям карты. По сумме свойств про­екция относится к произвольным, в частности к равнопромежуточ-ным по направлениям, перпенди­кулярным радиусам.

Предложенная еще в Древней Греции (Аполлонием во II в. до н. э.) ортотрафическая проекция широко применяется и ныне в учебной картографии для изобра­жения на картах Земли, рассмат­риваемой как космическое тело, а также для карт Луны и планет Солнечной системы. Это связано с тем, что при фотографировании небесных тел с Земли (или Земли из космического пространства) наблюдатель находится от объек­та на расстоянии, в сто и более раз превышающем его диаметр. Лучи зрения на диаметрально противоположные крайние точки объекта оказываются в этом слу­чае практически параллельными друг другу, а облик объекта или его фотография как бы построен­ными в ортографической проекции.

Чаще других применяются поперечные и косые ортографические картографические сетки (рис. 151). Так, в географическом атласе для 5-го класса на схеме, показывающей различия в падении сол­ нечных лучей на земную поверхность, карты земных полушарий построены в ортографической поперечной проекции; при показе годового движения Земли вокруг Солнца четыре ее изображения представлены в косой ортографической проекции. В Географическом атласе для учителей средней школы эти варианты ортографической проекции имеют такое же применение. '"'

Из неперспективных азимутальных проекций рассмотрим две/ часто применяемые в учебной картографии,— азимутальную равно! у промежуточную Постеля и азимутальную равновеликую Ламберта]

Азимутальная равнопромежуточная проекция Постеля. Нормаль? ная сетка в этой проекции имеет изображение полюса в центру карты (рис. 152), меридианы у нее прямые, под равными углами, расходящиеся от точки полюса, а параллели — дуги концентри­ческих окружностей с центром в точке полюса. Сетку строят при ' условии, что главный масштаб карты должен сохраняться по всем радиусам, в данном случае — по меридианам. Это условие реали­зуется, если отрезки меридианов между соседними параллелями будут равны и представлять выпрямленные дуги меридианов. Вы-, числение размеров этих отрезков выполняют по формуле:

АА'--

_2л#-Лф "360°-7W

где R — средний радиус Земли (6370 км); Дер — разница широт соседних параллелей, М — знаменатель главного масштаба карты. На рисунке 153 показана поперечная картографическая сетка в азимутальной равнопромежуточной проекции Постеля, а на рисунке 154 — косая сетка в этой же проекции. Все три варианта проек-

Рис. 151. Картографическая сетка фической азимутальной проекции

ая (слева) и косая (справа) в ортогра-

РИС 152. Нормальная картографическая Рис. 153. Поперечная картографическая CtTK4 в азимутальной равнопромежуточной сетка в азимутальной равнопромежу- ,!< |^0*КИИ«1 Постеля точной проекции Постеля

161

| fl 1м. 2М2 Г. Ю. Грюнберг

160

ции (нормальная, поперечная и ко­сая сетки) имеют общий характер распределения искажений. У всех точка нулевых искажений находится в центре карты. В нормальной про-

)екции она при этом совпадает с изоб­ражением полюса, в поперечной — находится в точке пересечения эква­тора со средним меридианом карты; в косой проекции Постеля (рис. 154) также на среднем меридиане, но в точке, расположенной между эква­тором и полюсом (обычно посереди­не карты).

В этой проекции масштабы длин по радиусам от точки нулевых иска-

Рис. 154. Косая картографическая сетка _жений не изменяются, а ПО НЭПрав-

п_Р0^Г"_еля^{РаВН0ПР0МеЖуТ0ЧН}°^{И лениям}' перпендикулярным радиу-

сам, они возрастают от центра к краям карты полушария примерно в полтора раза. Указанные два на- ^J правления и являются главными, причем по радиусам действует наименьший показатель искажения длин 6 = 1, а по направлениям, перпендикулярным радиусам, действует наибольший показатель а, который изменяется от 1 в центре до 1,57 на краю карты полу­шария.

Если в нормальной сетке главные направления совпадают с линиями картографической сетки (когда а = п, Ь = т), то в двух других вариантах этого совпадения в общем нет. Исключением слу­жит в обоих случаях лишь средний меридиан карты (вдоль него действует показатель Ь), а в поперечной проекции также линия экватора.

Площади и углы в проекции Постеля искажаются. Показатель искажения площадей р = а-Ь изменяется от 1 в центре до 1,57 на краю карты полушария. В общем, азимутальная проекция Постеля относится к произвольным, равнопромежуточным по радиусам из центра карты.

Проекция Постеля была разработана автором в XVI в. Ее при­меняют для построения карт северного (южного) полушария или территорий с меньшим охватом, например карт Арктики и Антарк; тики. В этой проекции в географическом атласе для 7 класса построе­ны карты Антарктиды; в Географическом атласе для учителей сред­ней школы и в Учебном атласе мира (1979 г.) —карты Арктики и Антарктиды. В поперечной проекции Постеля строили в прошлом; карты восточного й западного полушарий.

Азимутальная равновеликая проекция Ламберта. Построение азимутальной проекции Ламберта подчинено условию равновели-кости: по всей ее площади должно быть сохранено условие р = а-Ь = =const=1.

162

Способ достижения этого усло­вия можно понять из сравнения нормальных картографических се­ток, построенных в проекциях Постеля и Ламберта (рис. 155). Вспомним, что благодаря равен­ству отрезков меридианов между параллелями в проекции Постеля и сохранению на меридианах глав­ного масштаба показатель иска­жения длин по этим главным на­правлениям равен 1. По второму же главному направлению пока­затель а больше 1, что влечет уве­личение показателя искажения площади к периферии карты.

Рис. 155. Сравнение форм картографи­ческих сеток в азимутальных проекциях Постеля (слева) и Ламберта (справа)

Чтобы избежать этого и чтобы показатель р = а-Ь оставался всю­ду равным единице, в каждой точ­ке карты увеличение одного со­множителя (а) компенсировалось уменьшением второго сомножителя (Ь). Но это возможно лишь при условии, что отрезки меридианов между параллелями у нормальной сетки не остаются равными (как в проекции Постеля), а умень­шаются к периферии. Это и осуществлено при построении проекции Ламберта. В результате оказалось выполненным условие равно-великости.

Покажем остальные свойства проекции Ламберта примени­тельно к трем вариантам картографической сетки: нормальному, поперечному и косому (рис. 156).

Картографические сетки в азимутальной равновеликой проекции Ламберта: мальная, Б — поперечная, В — косая. ТНИ — точка нулевых искажений

163

Во всех трех вариантах точка нулевых искажений находится в центре картографической сетки. Показатели искажения длин по направлениям радиусов от этой точки изменяются от 1 до 0,7 на краю карты полушария. По направлениям, перпендикулярным ради­усам, показатель искажения длин а изменяется от 1 в центре до

0 30 60 90 120 150

£0 60 90 120 150 18

1

1,4 на краю карты полушария. Углы и формы претерпевают в этой' проекции значительные искажения, особенно к периферии карты.; Например, показатель искажения форм на краю карты полушария \ равен 2,0. ,"'

Проекция Ламберта, предложенная автором в XVIII в., имеет и настоящее время широкое применение. Почти все карты восточного и западного полушарий, в том числе стенные и настольные, в школь­ ных атласах и учебниках строят в азимутальной поперечной проек- i ции Ламберта. В этой же проекции строят карты материков: для! Африки применяют поперечную картографическую сетку в проек­ ции Ламберта, для других материков используют косую картогра- ; фическую сетку. I