Задания для самостоятельной работы

Решить систему уравнений с тремя неизвестными.

Вариант 1 Вариант 4

Вариант 2 Вариант 5

Вариант 3

Лабораторная работа 4 аппроксимация зависимостей

Цель работы: получить представление о задаче аппроксимации; изучить основные виды регрессионных зависимостей; овладеть практическими знаниями и навыками по составлению уравнений регрессии.

Краткие теоретические сведения

Программа Excel располагает средствами, позволяющими прогнозировать различные процессы. Задача аппроксимации возникает в случае необходимости аналитически описать явления, имеющие место в жизни и заданные в виде таблиц, содержащих значения аргумента (аргументов) и функции. Если зависимость удается найти, можно сделать прогноз о поведении исследуемой системы в будущем и, возможно, выбрать оптимальное направление развития. Такая аналитическая функция (называемая трендом) может иметь разный вид и разный уровень сложности в зависимости от сложности системы и желаемой точности представления.

Линейная регрессия. В MS Excel существует несколько способов решения задачи линейной регрессии:

1. аппроксимировать данные по критерию наименьших квадратов;

2. вычислить коэффициенты с помощью предложенных формул;

3)использовать встроенные функции Excel ЛИНЕЙН() и ТЕНДЕНЦИЯ() для нахождения коэффициентов уравнения линейной регрессии.1-й способ. Дан набор точек (х_i, у_i), I = 1, ..., n. Пусть имеется класс функций F (линейные, квадратичные, экспоненциальные и т.д.). Требуется найти функцию у = f(x) из F, такую, чтобы ее значения f(x,) наилучшим образом приближали значения у_i. Что означают слова «наилучшим образом»? Нужно выбрать критерий, характеризующий насколько одна функция лучше другой. Для этого рассмотрим набор остатков e_j = у_i – f(x_i). За счет выбора функции f(x) нужно сделать их как можно меньшими. Но для сравнения качества приближения необходимо свернуть е_i в одну функцию 1(е₁ ,..., е_n). Просто сложить остатки нельзя, поскольку они могут иметь разные знаки и тогда ошибки могут взаимно компенсироваться.

2-й способ. Самый простой и популярной является аппроксимация прямой линией – линейная регрессия. Пусть мы имеем фактическую ин формацию об уровнях прибыли Y в зависимости от размера X капиталовложений – Y(X). Пусть также у нас имеются основания предполагать, что зависимость эта линейная, т.е. имеет вид Y = А + ВХ. Если бы нам удалось найти коэффициенты А и В и по ним построить прямую, в дальнейшем мы могли бы сделать осознанные предположения о динамике бизнеса и возможном коммерческом состоянии предприятия в будущем. Очевидно, что нас бы устроила прямая, находящаяся как можно ближе к известным точкам M(Y, X), т.е. имеющая минимальную сумму отклонений или сумму ошибок. Известно, что существует только одна такая прямая. Для решения этой задачи используют метод наименьших квадратов ошибок. Разность (ошибка) между известным значением Y_i точки M_i(Y_i, X_i) и значением Y(Xj), вычисленным по уравнению прямой для того же значения Х_i составит ∆_i=Y_i -A -B*X_i. Запишем выражение для суммы квадратов ошибок:

Здесь нам известны все X и Y и неизвестны коэффициенты А и В. Выберем А и В такими, чтобы эта сумма квадратов ошибок S (А, В) была минимальной. Оценить функциональную близость (в линейном смысле) значений X и Y можно с помощью коэффициента корреляции R. Принято считать, что при R < 0,3 наблюдается слабая линейная связь, при R < 0,3-0,7 – средняя, при R < 0,7 – сильная, при R < 0,9 – весьма сильная, при R = 1 – полная функциональная связь.

3-й способ. Техника аппроксимации более сложными функциями. Рассмотрим встроенные функции Excel ЛИНЕЙНО и ТЕНДЕНЦИЯ() для более быстрого нахождения коэффициентов уравнения линейной регрессии. ЛИНЕЙН(<известное У>,<известное Х>) вычисляет два коэффициента линейного уравнения регрессии для множества значений независимой переменной X и зависимой переменной Y. Результат выводится в две смежные ячейки: сначала коэффициент при X, затем – свободный член. Ввиду этого функция должна вводиться как функция обработки массива: выделяются две ячейки для результата, вводится функция и нажимаются клавиши Ctrl+Shift+Enter. ТЕНДЕНЦИЯ <известное У>;<известное Х>;<новое Х>) вычисляет ожидаемое новое значение Y для нового X, если известны некоторые опытные значения X и Y. Вычисления делаются в предположении, что X и Y зависят линейно.

Полиномиальная аппроксимация. В некоторых случаях уравнение линейной регрессии правильно отражает направление роста функции, но является достаточно грубым приближением. Тогда необходимо воспользоваться более сложной аппроксимирующей функцией. В качестве таких функций чаще всего используют степенные полиномы разной степени вида Y = а + bХ¹+сХ²+dX³+еХ⁴ + ... Поиск коэффициентов такого уравнения уже не может быть осуществлен способами, описанными выше. В этом случае можно:

1. Воспользоваться средством Поиск решения из меню Данные

2. Использовать деловую графику Excel.

Применение средства Поиск решения дает возможность в качестве уравнения регрессии использовать не только степенные полиномы, но и другие функции. Отметим, что средства деловой графики позволяют найти уравнения и не прибегая к вычислениям. Если после того, как была построена кривая функции Y(X), щелкнуть по ней правой кнопкой мыши, то в появившемся контекстном меню можно выбрать пункт Добавить линию тренда, который предъявляет окно Линия тренда. Здесь можно выбрать вид уравнения аппроксимации и его степень, а если на вкладке Параметры установить флаг Показывать уравнение на диаграмме, то на графике мы увидим не только линию тренда, но и ее уравнение. Здесь же можно визуально оценить поведение анализируемого процесса в будущем/прошлом, если установить Прогноз вперед/назад на заданное число единиц независимого аргумента X.