Тема 1.4. Дифференциальные уравнения

Практическая работа №5.

Тема: Дифференциальные уравнения первого порядка.

Цель: Научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка с разделенными и разделяющимися переменными.

Методические указания

Дифференциальным уравнением называется равенство, содержащее производные или дифференциалы неизвестной функции.

Общий вид дифференциального уравнения

Функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению, т.е. обращающая его в тождество, называется интегралом или решением этого уравнения.

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида где функции только от х, функции только от у.

Делением данного уравнения на , получим уравнение с разделяющимися переменными:

Общий интеграл (решение) данного уравнения

Задача нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего условию , где - заданные числа, называется задачей Коши.

Геометрический смысл решения задачи Коши заключается в нахождении интегральной кривой, проходящей через заданную точку М(х₀;у₀).

Пример 1.

Найти общее решение уравнения

Пример 2.

Найти частное решение дифференциального уравнения , если у=3, х=0.

Содержание работы

1. Найдите общее решение дифференциального уравнения:

а)

б)

2. Найдите частное решение дифференциального уравнения:

Практическая работа №6.

Тема: Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Цель: Научиться решать дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Методические указания

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида где p, q – постоянные величины.

Уравнение называется характеристическим уравнением для данного дифференциального уравнения. Чтобы получить это уравнение, достаточно заменить соответственно на

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция y=g(x, С₁, С₂₎ от х и двух произвольных постоянных С₁ и С₂.

Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка состоит в том, чтобы найти решение, удовлетворяющее начальным условиям у(х₀)=у₀, у¹(х₀)=у₀¹.

Постоянные С₁ и С₂ определяются из системы соответствующих уравнений.

При решении характеристического уравнения возможны три случая:

№	Корни уравнения	Частные решения	Общее решение
1	D>0, действительные, k1, k2 - различные
2	D=0, действительные, k1=k2
3	D<0, комплексно-сопряженные,

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям при х=0, у₀=4,

Содержание работы.

1. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

а)

б)

2. Найти частное решение дифференциального уравнения: