Тема 1.5. Численные методы

Практическая работа №7.

Тема: Применение численного интегрирования в приближенных вычислениях.

Цель: Научиться находить приближенное значение интегралов методом прямоугольников и трапеций.

Методические указания

1. Чтобы найти приближенное значение интеграла методом прямоугольников, нужно:

1) разделить отрезок интегрирования [a;b] на п равных частей точками х₀=а, х₁, х₂, …, х_п-1, х_п=b;

2) вычислить значения подынтегральной функции y=f(x) в полученных точках: y₀=f(x₀), y₁=f(x₁), y₂= f(x₂), …,y_n-1=f(x_n-1), y_n=y(x_n);

3) воспользоваться формулой

2. Чтобы найти приближенное значение интеграла методом трапеций, нужно:

1) разделить отрезок интегрирования [a;b] на п равных частей точками х₀=а, х₁, х₂, …, х_п-1, х_п=b;

2) вычислить значения подынтегральной функции y=f(x) в полученных точках: y₀=f(x₀), y₁=f(x₁), y₂= f(x₂), …,y_n-1=f(x_n-1), y_n=y(x_n);

3) воспользоваться формулой

Пример 1.

Содержание работы

1. Вычислите интеграл по формуле прямоугольников, разбив промежуток интегрирования на 10 равных частей. Оцените погрешность результата.

2. Вычислите по формуле трапеций , с точностью до 0,001, разбив интервал интегрирования на 10 частей. Оцените погрешность.

Тема 2.3. Решение систем линейных уравнений

Практическая работа №8.

Тема: Решение систем линейных уравнений различными методами.

Цель: Научиться решать системы линейных уравнений методами Крамера и Гаусса.

Методические указания

1. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.

Пример 1. Решить систему уравнений по формулам Крамера:

Пример 2. Решить систему уравнений по формулам Крамера:

2.Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Пример 3. Используя метод Гаусса, решить систему уравнений:

Содержание работы

1. Решить системы уравнений по формулам Крамера:

а) б)

2. Используя метод Гаусса решить системы уравнений:

а) б)

Раздел 3 Теория комплексных чисел

Тема 3.1. Комплексные числа и их геометрическая интерпретация

Практическая работа №9.

Тема: Выполнение действий над комплексными числами в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.

Цель: Научиться выполнять действия над комплексными числами.

Методические указания

1. Понятие мнимой единицы

2. Степени мнимой единицы

3. Определение комплексного числа

4. Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3. Решить уравнение

Решение:

5. Тригонометрическая форма комплексного числа

Пример 1. Записать в тригонометрической форме комплексное число .

Пример 2. Записать в тригонометрической форме комплексное число .

Пример 3. Записать число в алгебраической форме:

6. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Пример 4.

7. Показательная форма комплексного числа

8. Действия над комплексными числами в показательной форме

Раздел 4 Элементы теории вероятностей и математической статистики

Тема 4.1. Основные понятия комбинаторики

Тема 4.2. Элементы теории вероятностей

Тема 4.3. Элементы математической статистики

Практическая работа №10

Тема: Основы теории вероятностей и математической статистики.

Цель: Научиться решать простейшие задачи с элементами комбинаторики и на определение вероятности события; вычислять математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Методические указания

1. Число размещений из п элементов по т вычисляется по формуле и соответствует числу соединений из п элементов по т, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их расположения.

2. Перестановками из п элементов называют такие соединения из всех п элементов, которые отличаются друг от друга порядком расположения элементов. Число перестановок вычисляется по формуле .

3. Сочетаниями из п элементов по т в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Число сочетаний находится по формуле

4. Вероятность события А вычисляется по формуле , где т – число исходов, благоприятствующих наступлению события А, п – общее число всех равновозможных несовместных исходов.

5. Математическое ожидание случайной величины (М(Х)) вычисляется по формуле , где х_i – значения случайной величины, р_i – вероятности этих значений. Математическое ожидание называют средним значением случайной величины.

6. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: Д(Х)=М[X-M(X)]², или , где т=М(Х).

Пример 1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна цифра в числе не повторяется?

Решение. Число перестановок из пяти элементов согласно формуле составляет Значит различных пятизначных чисел можно составить 120.

Пример 2. Сколько двузначных чисел можно составить из пяти цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна из них не повторится?

Решение. Так как двузначные числа отличаются друг от друга или самими цифрами или их порядком, то искомое количество равно числу размещений из 5 элементов по два элемента. Согласно формуле . Итак можно составить 20 различных двузначных чисел.

Пример3. Сколькими способами можно выбрать двух человек в президиум, если на собрании присутствует 64 человека?

Решение. Число пар выбранных в президиум отличаются друг от друга хотя бы одним человеком и равно числу сочетаний из 64 элементов по 2 элемента. Согласно формуле . Итак двух человек в президиум можно выбрать 2016 способами.

Пример 4. Из урны, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара, вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара окажутся черными.

Решение. Обозначим событие, состоящее в появлении двух черных шаров через А. Общее число возможных случаев п равно числу сочетаний из 8 элементов (5+3) по два: . Число случаев т, благоприятствующих событию А, равно числу сочетаний из 3 элементов по два элемента и составляет . По формуле находим вероятность появления двух черных шаров: или 10,7%.

Пример 5. Найти математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины, закон распределения которой задан таблицей

Х	3	4	5	6	7
Р	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

Решение. 1) В соответствии с формулой находим

2) В соответствии с формулой находим

Содержание работы

1. Задача.

Группа студентов изучает в семестре 11 дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий на понедельник, если в этот день недели должно быть 4 различных урока?

2. Задача.

Сколькими способами можно распределить 12 классных комнат под 12 учебных кабинетов?

3. Задача.

28 студентов обменялись друг с другом фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек?

4. Задача.

Из урны, в которой находятся 3 белых, 4 черных, 5 красных шаров наудачу вынимается один. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется: а) белым; б) черным, в) желтым; г) красным?

5. Задача. В книжном магазине на полке 10 различных книг, причем 5 книг стоят по 40 рублей каждая; 3 книги – по 10 рублей и 2 книги – по 30 рублей. Найдите вероятность того, что взятые наугад две книги стоят по 50 рублей.

6. Даны вероятности значений случайной величины Х: значение 10 имеет вероятность 0,3; значение 2 – вероятность 0,4; значение 8 – вероятность 0,1; значение 4 – вероятность 0,2. Постройте ряд распределения случайной величины Х и определите математическое ожидание.