§7. Реалізація лінійного під-закону регулювання.

а) з охопленням зворотнім зв’язком ВМ сталої швидкості:

Лінійні закони регулювання використовують операції: множення, ділення, додавання, інтегрування, диференціювання.

К1 – операційний підсилювач (його наявність приводить до утворення граничної системи, якщо ЗЗ негативний).

Оскільки в прямому ланцюзі знаходиться операційний підсилювач, що охоплений негативним ЗЗ, то в граничній системі ПІД закон регулювання формується в ланці ЗЗ. Тому,

1 крок: визначимо передаточну функцію ланцюга ЗЗ, що формує ПІД закон:

Реальна диф. ланка

Основне рівняння граничної системи

Інерційна ланка

Тут Т₁ і Т₂ – це постійні часу ЗЗ.

2 крок: для реального регулятора визначимо вигляд баластної ланки:

3 крок: аналіз властивостей реального ПІД-регулятора (коефіцієнт підсилення - якесь число):

1)Якщо позначити Т₁+Т₂ через параметр настройки Т_И, то одержимо передаточну функцію:

, ,,

Висновок 1: параметри настройки Т_Д, Т_И, К_Р взаємозв’язані, ця залежність дуже погана, бо зміна одного з параметрів призводить до зміни інших.

Висновок 2: щоб позбутися взаємозалежності Т_Д, Т_И, К_Р потрібно використовувати операційні підсилювачі з максимальним коефіцієнтом К₁.

2. Проаналізуємо властивості баластної ланки, для цього запишемо у такому вигляді (інерційної ланки другого порядку):

Висновок 1: в граничній системі передаточна функція баластної ланки наближається до властивостей пропорційної ланки з одиничним коефіцієнтом передачі, тому що коефіцієнт передачі в граничній системі =1.

У виразі для коефіцієнта передачі , К₁ знаходиться і в чисельнику і в знаменнику, це невизначеність виду , оскільки для граничної системи можна записати ,тому використавши правило Лапіталя (для цього і чисельник і знаменник ділимо на К₁) ми переводимо невизначеність в чисельник. Граничне значення К₁ для .

Висновок 2: в реальному регуляторі при К1=const, перша постійна часу , залежить від всіх параметрів, що в неї входять, а саме

Друга постійна часу в квадраті зв’язана з першою постійною часу через вираз:

Висновок: постійні часу баластної ланки зв’язані між собою через параметр настройки регулятора Т_Д, тобто можливі таки ситуації, коли інерційна ланка другого порядку стає нестійкою.

В залежності від співвідношення Т₁ і Т_БАЛ можливі 4 види кривих розгону інерційної ланки другого порядку:

Аперіодична (лише дійсна)

Коливальна затухаюча

Автоколивальна (1 дійсний корінь)

Нестійка (лише уявна)

Висновок: в залежності від співвідношення Т_БАЛ1 і Т_БАЛ2 можливі стійкі і нестійкі перехідні процеси в баластній ланці, при чому вигляд залежить від Т_Д.

3)Визначимо граничне співвідношення між параметрами Т_И і Т_Д:

Як було показано раніше Т_Д і Т_И зв’язані між собою через Т₁ і Т₂, тому можна записати:

,оскільки Т₁ і Т₂ входять і в чисельник і в знаменник, тому визначимо найгірші умови:

Висновок: максимальне співвідношення Т_Д/Т_И можливо лише при Т₁=Т₂, у інших випадках буде менше 0.25, тобто Т_Д/Т_И≤0.25.

Визначимо характеристики перехідних процесів у баластній ланці.

З дисципліни "Теорія автоматичного керування" відомо, що характер перехідного процесу залежить від коренів характеристичного рівняння.

Визначимо корені характеристичного рівняння.

Характеристичне рівняння будь-якої ланки записується шляхом дорівненя нулю знаменника передаточної функції і зміни оператора Лапласа на літеру "р":

Визначимо дискримінант квадратного рівняння, якщо корні дійсні, то ланка стійка, якщо корні уявні – ланка нестійка:

Вираз у перший дужці завжди >0, тому ми можемо проаналізувати вираз в другій дужці :

Т.ч. вираз у другій дужці завжди від’ємний при будь-яких Т₁ і Т₂.

Висновок: дискримінант характеристичного рівняння від’ємний, корні рівняння містять і реальну і уявну частину, тому крива розгону цієї баластної ланки – інерційна ланка з коливально-затухаючим перехідним процесом, відповідно крива розгону ідеального ПІ-регулятора буде

реальний

ідеальний

М

t

К_Р/Т_И

К_Р

К_Д/Т_И

ОНР

Висновок 1: при невеликих значеннях коефіцієнта К₁ крива розгону ПІД-регулятора може бути коливальною, а при великих значеннях коефіцієнта К₁ крива розгону буде близькою до ідеальної. Наша мета – використовувати високоякісні операційні підсилювачі.

ОНР для регулятора, у якого є три параметри настройки – це тривимірна фігура, її потрібно зображувати у трьох координатах К_Р, Т_И, Т_Д. Для того, щоб перейти до двовимірного зображення використовують накладання перерізів (перетинів) при фіксованих Т_Д . Для кожного значення Т_Д можна знайти дозволені значення К_Р, при яких ∆M(ω)<10%, а ∆Θ(ω)<15%

∆M(ω) – різниця між модулями КЧХ реального і ідеального ПІД-регулятора,

∆Θ(ω) – різниця між модулями фаз, а 10% і 15% - це границі.

Звідси і різниця між реальним і ідеальним регуляторами.

б) без охоплення зворотнім зв’язком ВМ сталої швидкості:

Оскільки ВМ не охоплений зворотнім зв’язком, і за своєю природою є інтегральною ланкою, то виходячи з методу послідовної корекції КПП повинен формувати ПДД²- закону (див. метод послідовної корекції).

Оскільки ми використовуємо граничну систему в КПП, то визначимо передаточну функцію ланцюга ЗЗ:

якщо винести за дужки К_П і позначити його як К_ЗЗ, тоді в знаменник запишемо рівняння другого порядку, т.ч. можна стверджувати, що в ЗЗ граничної системи потрібно встановити інерційну ланку другого порядку, що має аперіодичну криву розгону:

2)Визначимо властивості реального ПІД-регулятора, для цього запишемо еквівалентну передаточну функцію:

Проаналізуємо властивості одержаного ПІД-регулятора:

1)Якщо взяти вираз для ідеального ПІД-регулятора, то видно, що Т_И=Т₁+Т₂ –постійна часу інерційної ланки,

а раз це так, то К_Р залежить від Т_И і інших параметрів регулятора, що не є гарною рисою регулятора:

Аналогічно, параметр настройки Т_Д жорстко залежить від К_Р і Т_И:

Висновок: всі параметри настройки К_Р , Т_И, Т_Д між собою пов’язані, або, змінивши один параметр, автоматично зміняться інші.

2) Проаналізуємо властивості баластної ланки (наскільки вона спотворює закон регулювання):

Баластна ланка – це інерційна ланка другого порядку, яка може бути аперіодичною, коливальною, нестійкою, залежно від коренів характеристичного рівняння:

Коефіцієнт передачі баластної ланки, якщо використати правило Лапіталя, наближається до одиниці, тобто баластна ланка не змінює амплітуду регулювального сигналу. Запишемо рівняння для Т_БАЛ1 і Т_БАЛ2:

, вони наближаються до 0.

Висновок: в ідеальній системі (граничній системі) в ідеальному регуляторі і Т_БАЛ1 і Т_БАЛ2 наближаються до 0, тобто баластна ланка в граничній системі – це пропорційна ланка з К_Р=1.

Чим якісніший операційний підсилювач(ОП), тим точніше формується ПІД-закон.

Т.ч. Т_БАЛ1 і Т_БАЛ2 пов’язані між собою через Т_Д, це означає, що як і в попередньому варіанті, граничне співвідношення параметрів Т_И і Т_Д буде:

,

Висновок: D<0 – баластна ланка – інерційна ланка з коливальним затухаючим перехідним процесом.

Характеристичне рівняння перехідних процесів :

Якщо комплексні складові – нестійка, якщо уявні – коливальна, якщо дійсні – стійка.