5.3. Кпд машины Карно

Определим КПД цикла Карно для случая, когда рабочим веществом является идеальный газ. Для этого вычислим тепло Q_н, получаемое машиной Карно от нагревателя, и тепло Q_х, отдаваемое ею холодильнику, и подставим их в (2).

Газ получает от нагревателя тепло Q_н на изотерме Т_н=const (рис. 8). Так как при Т=const ΔU=0, то, согласно первому закону ТД,

Q_н=ΔU+A=A₁₂=.

Для вычисления этого интеграла подставим в него р=RT_н/V. Тогда

Q_н=.

Аналогично, тепло Q_х, отдаваемое холодильнику на изотерме Т_х=const,

Q_х=.

Установим теперь связь между V₁, V₂, V₃ и V₄:

на адиабате 2-3: Т_нV₂^γ−1=Т_хV₃^γ−1; на адиабате 4-1: Т_нV₁^γ−1=Т_хV₄^γ−1. Разделив эти соотношения друг на друга, получаем:

. (3)

Следовательно, . Подставляя это в (2), получаем для КПД цикла Карно:

η=1−. (4)

Отсюда видно, что всегда η<1, а η→1 лишь при Т_х→0. Для реальных тепловых машин температура Т_х – это температура окружающей среды, т.е. Т_х≈300 К, поэтому для увеличения КПД приходится повышать температуру Т_н.

Пример. Пусть Т_х=300 К, Т_н=400 К (127°С). Тогда η=1−Т_х/Т_н=25%. И это лишь для идеальной, т.е. обратимой машины, работающей по циклу Карно. А так как все реальные тепловые машины далеко не обратимы, то их КПД η значительно меньше (4).

5.4. Теорема Карно

На основе постулата Томсона можно доказать следующее важное утверждение, которое называется теоремой Карно:

КПД идеальной (т.е. обратимой) тепловой машины, работающей по циклу Карно, не зависит от вида рабочего вещества и конструкции машины, а определяется только температурами Т_н и Т_х:

.

КПД любой необратимой машины (т.е. в которой есть необратимый процесс), работающей между теми же температурами, меньше величины (1−Т_х/Т_н).

Таким образом, КПД обратимой машины Карно максимален среди всех машин, работающих между теми же температурами Т_н и Т_х:

. (без доказательства)

Замечание 1. Выражение η=1−Q_х/Q_н справедливо вообще для любой тепловой машины, так как это фактически есть определение КПД, но выражение η=1−Т_х/Т_н относится только к идеальной машине Карно. Следовательно, только для идеальной машины Карно отношение теплот

. (5)

Замечание 2. Не всякий изопроцесс легко сделать обратимым. Так например, изохорный разогрев р=αТ|_V=const не будет обратимым, если баллон с газом просто поставить на нагреватель с температурой Т_н>Т_газа: из-за резкого перепада температур и ограниченной теплопроводности газа его температура не будет одинакова по объёму баллона. Следовательно, состояние газа в процессе разогрева уже не определено, так как оно неравновесно.

Для того, чтобы процесс был обратим, необходимо, чтобы при тепловом контакте различных частей машины друг с другом, или с тепловым резервуаром, они имели бы бесконечно близкие температуры, т.е. холодное тело никогда не должно быть в прямом тепловой контакте с горячим: передача тепла между двумя телами с разными температурами является необратимым процессом (Ферми, 48; Фейнман, 3-4, 341). Так например, чтобы изохорный нагрев газа в баллоне сделать обратимым, надо этот баллон привести в тепловой контакт с цилиндром, в котором другой газ при той же начальной температуре очень медленно сжимается (рис. 9). На рис. 9,б верхний объём газа нагревается обратимо, так как при обратном ходе поршня газ проходит через все прежние состояния (рис. 9,в).