5.5. Холодильная машина

Поскольку Цикл Карно обратим, то он может быть проведён в обратном направлении. При этом работать будем мы, т.е. машина будет потреблять механическую энергию, а не производить её. Она также будет отнимать тепло Q_х у холодного тела при температуре Т_х, а отдавать тепло Q_н горячему при температуре Т_н, т.е. холодильник будет ещё более охлаждаться. Работу над газом при этом должен совершать какой-нибудь моторчик или компрессор.

Машина, работающая по такому обратному циклу, называется холодильной. Для неё холодным телом является какая-либо камера с ограниченным объёмом, а горячим телом с высокой температурой Т_н – окружающая среда.

Замечание. Не путать термины «обратный процесс» и «обратимый процесс».

Вычислим механическую энергию (работу), потребляемую холодильной машиной (рис. 10). По первому закону термодинамики,

Q_н=Q_х+А.

Подставляя сюда Q_н из (5), получаем:

А=.

Отсюда видно, что чем ниже температура холодильника Т_х, тем большую работу надо совершить, чтобы извлечь из него данную теплоту Q_х. При Т_х→0 работа А→∞.

5.6. Неравенство Клаузиуса

Согласно теореме Карно, КПД тепловой машины не может превышать КПД обратимой машины, работающей между теми же температурами: η≤η_обр.. По определению, КПД всякой тепловой машины η=,

где Q_н – теплота, полученная машиной от нагревателя, при температуре Т_н,

Q_х – теплота, отданная машиной холодильнику при температуре Т_х.

Максимально же возможный КПД, т.е. КПД обратимой машины, работающей между теми же температурами, . Таким образом,

. (6)

Здесь как получаемая теплота Q_н>0, так и отдаваемая теплота Q_х>0.

Однако далее везде вместо терминов «получаемая теплота» и «отдаваемая теплота» удобно пользоваться единым термином: «теплота, которой система обменивается с тепловыми резервуарами», причём получаемой теплоте приписывать знак «+», а отдаваемой – «−»: Q>0, когда система получает теплоту, и Q<0, когда отдаёт (т.е. получает отрицательную теплоту). Таким образом, система получает теплоту всегда, но только с разными знаками.

В этом случае соотношение (6) принимает вид:

, (7)

где Q₁=−Q_х – теплота, которой система обменивается с резервуаром при температуре Т₁, Q₂=Q_н – теплота, которой система обменивается с резервуаром при температуре Т₂ (рис. 11).

Замечание. При теплообмене с каким-либо резервуаром температура системы должна быть равна температуре данного резервуара, − это обязательное условие обратимости процесса. Теплового контакта двух тел с разными температурами в обратимых процессах быть не должно.

Из (7) следует, что для двух резервуаров с температурами Т₁ и Т₂, с которыми система обменивается теплотами Q₁ и Q₂, справедливо неравенство:

,

или: (8)

Однако в круговом процессе система может обмениваться теплотами ΔQ_i не обязательно с двумя, а со многими резервуарами с разными температурами T_i (рис. 12). При этом справедлива следующая теорема (без доказательства):

Теорема. Если есть п тепловых резервуаров с температурами Т₁, Т₂, …, Т_п, с которыми система в круговом процессе обменивается теплотами ΔQ₁, ΔQ₂, …, ΔQ_п, то справедливо соотношение, аналогичное (8):

(=0 при обратимом процессе). (9)

Если же источники тепла (резервуары) распределены непрерывно, и каждый из них обменивается с системой теплотой dQ при соответствующей температуре Т, то вместо суммы (9) следует писать интеграл по циклу:

,

и тогда . (10)

Это фундаментальное термодинамическое соотношение, вытекающее из второго закона ТД, называется неравенством Клаузиуса. Для обратимых циклов

. (11)

Замечание. Так как при обратимом теплообмене с каким-либо резервуаром температура системы обязательно должна быть равна температуре данного резервуара, то в выражениях (10) и (11) в качестве Т следует брать температуру самóй системы.

Определение. Пусть в элементарном процессе теплообмена система получает теплоту dQ при температуре Т. Тогда отношение называется элементарной приведённой теплотой системы, а интеграл − приведённой теплотой системы в конечном процессе 1-2 (рис. 13).

С учётом этого, равенство (11) можно сформулировать следующим образом:

приведённая теплота системы при любом обратимом циклическом процессе равна нулю.

Следствия из равенства (11):

Следствие 1. КПД любого обратимого цикла, в котором минимальная температура равна Т₁, а максимальная − Т₂, меньше, чем КПД цикла Карно, работающего между теми же температурами: η<η_Карно (без доказательства).

Следствие 2. Приведённая теплота системы при обратимом переходе из одного состояния в другое не зависит от формы пути перехода, а определяется только начальным и конечным состояниями системы.

Доказательство. Пусть L₁ и L₂ – два различных обратимых (квазистатических) процесса, переводящих систему из состояния 1 в 2 (рис. 14). Рассмотрим циклический процесс 1→L₁→2→L₂→1. Для этого обратимого цикла справедливо равенство (11), которое можно представить как сумму процессов:

.

Но , следовательно, .