- •1 Векторы
- •Свойства
- •Линейные операции над векторами ]Сложение векторов ]Сложение геометрических векторов
- •]Сложение коллинеарных скользящих векторов
- •Сложение векторов - элементов линейного пространства
- •Умножение вектора на число
- •Скалярное произведение
- •Векторное произведение
- •Смешанное произведение
- •2 Прямая Уравнения прямой на плоскости
- •Общее уравнение прямой
- •Уравнение прямой в полярных координатах
- •Тангенциальное уравнение прямой
- •Уравнения прямой в пространстве
- •Взаимное расположение нескольких прямых на плоскости
- •Некоторые характеристические свойства плоскости
- •Уравнения плоскости
- •Связанные понятия
- •Классификация кривых второго порядка Невырожденные кривые
- •Вырожденные кривые
- •Канонический вид
- •Определение через разложение по первой строке
- •Свойства определителей
- •Операции над матрицами
- •Метод Гаусса—Жордана
- •Методы решения (нажать с ctrl)
- •Непрерывная функция
Векторное произведение
Основная статья: Векторное произведение
Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, удовлетворяющий следующим требованиям:
-
длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла φ между ними
-
вектор c ортогонален каждому из векторов a и b
-
вектор c направлен так, что тройка векторов abc является правой.
Обозначение:
Геометрически векторное произведение есть ориентированная площадь параллелограмма, построенного на векторах , представленная псевдовектором, ортогональным этому параллелограмму.
Свойства векторного произведения:
-
При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак (антикоммутативность), т.е
-
Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, то есть
-
Векторное произведение обладает распределительным свойством:
Смешанное произведение
Основная статья: Смешанное произведение
Сме́шанное произведе́ние векторов — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :
(равенство записано для разных обозначений скалярного и векторного произведения).
Иногда смешанное произведение называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее —псевдоскаляр).
Геометрически смешанное произведение есть (ориентированный) объём параллелепипеда, построенного на векторах .
2 Прямая Уравнения прямой на плоскости
Способы задания прямой: или .
Общее уравнение прямой
Общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:
где A, B и C — произвольные постоянные, причем постоянные A и B не равны нулю одновременно. Вектор с координатами (A,B) называется нормальным вектором и он перпендикулярен прямой. Вектор с координатами (-B,A) или (B,-A) называется направляющим вектором.
При C = 0 прямая проходит через начало координат. Также уравнение можно переписать в виде :
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Прямая линия, пересекающая ось Oy в точке и образующая угол с положительным направлением оси Ox:
Коэффициент k называется угловым коэффициентом прямой. В этом виде невозможно представить прямую, параллельную оси Oy.
Уравнение прямой в отрезках
Прямая линия, пересекающая ось Ox в точке и ось Oy в точке :
В этом виде невозможно представить прямую, проходящую через начало координат.
Нормальное уравнение прямой
где p — длина перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат, а θ — угол (измеренный в положительном направлении) между положительным направлением оси Ox и направлением этого перпендикуляра. Если p = 0, то прямая проходит через начало координат, а угол задаёт угол наклона прямой.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точки
Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точки и
или
или в общем виде
Векторно-параметрическое уравнение прямой
Векторно-параметрическое уравнение прямой задается вектором конец которого лежит на прямой, и направляющим вектором прямой . Параметр t пробегает все действительные значения.
Параметрические уравнения прямой
Параметрические уравнения прямой могут быть записаны в виде:
где t — производный параметр, ax, ay — координаты x и y направляющего вектора прямой, при этом
Смысл параметра t аналогичен параметру в векторно-параметрическом уравнении.
Каноническое уравнение получается из параметрическиx уравнений делением одного уравнения на другое:
где — координаты и направляющего вектора прямой, и координаты точки, принадлежащей прямой.