- •1 Векторы
- •Свойства
- •Линейные операции над векторами ]Сложение векторов ]Сложение геометрических векторов
- •]Сложение коллинеарных скользящих векторов
- •Сложение векторов - элементов линейного пространства
- •Умножение вектора на число
- •Скалярное произведение
- •Векторное произведение
- •Смешанное произведение
- •2 Прямая Уравнения прямой на плоскости
- •Общее уравнение прямой
- •Уравнение прямой в полярных координатах
- •Тангенциальное уравнение прямой
- •Уравнения прямой в пространстве
- •Взаимное расположение нескольких прямых на плоскости
- •Некоторые характеристические свойства плоскости
- •Уравнения плоскости
- •Связанные понятия
- •Классификация кривых второго порядка Невырожденные кривые
- •Вырожденные кривые
- •Канонический вид
- •Определение через разложение по первой строке
- •Свойства определителей
- •Операции над матрицами
- •Метод Гаусса—Жордана
- •Методы решения (нажать с ctrl)
- •Непрерывная функция
Связанные понятия
-
Угол между двумя плоскостями. Если уравнения П. заданы в виде (1), то
Если в векторной форме, то
-
Плоскости параллельны, если
или (Векторное произведение)
-
Плоскости перпендикулярны, если
или . (Скалярное произведение)
-
Пучок плоскостей — уравнение любой П., проходящей через линию пересечения двух плоскостей
где α и β — любые числа, не равные одновременно нулю.
4 Прямая и плоскость
Взаимное расположение прямых и плоскостей
Ключевые слова: прямая, плоскость, перпендикуляр, наклонная к плоскости, двугранный угол, линейный угол, проекция точки, отрезка
Теоремы
-
Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости и проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.
-
Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
-
Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.
-
Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпердикулярна и самой наклонной.
-
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, расположенной в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.
-
Если прямая параллельна плоскости, то она параллельна некоторой прямой на этой плоскости.
-
Если прямая и плоскость перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.
-
Все точки прямой, параллельной плоскости, одинаково удалены от этой плоскости.
5 Кривые второго порядка
Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида
в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля
Классификация кривых второго порядка Невырожденные кривые
Кривая второго порядка называется невырожденной, если Могут возникать следующие варианты:
-
Невырожденная кривая второго порядка называется центральной, если
-
эллипс — при условии D > 0 и ΔI < 0;
-
частный случай эллипса — окружность — при условии I2 = 4D или a11 = a22,a12 = 0;
-
-
мнимый эллипс (ни одной вещественной точки) — при условии ΔI > 0;
-
гипербола — при условии D < 0;
-
-
Невырожденная кривая второго порядка называется нецентральной, если ΔI = 0
-
парабола — при условии D = 0.
-
Вырожденные кривые
Кривая второго порядка называется вырожденной, если Δ = 0. Могут возникать следующие варианты:
вещественная точка на пересечении двух мнимых прямых (вырожденный эллипс) — при условии D > 0;
пара вещественных пересекающихся прямых (вырожденная гипербола) — при условии D < 0;
вырожденная парабола — при условии D = 0:
пара вещественных параллельных прямых — при условии B < 0;
одна вещественная прямая (две слившиеся параллельные прямые) — при условии B = 0;
-
пара мнимых параллельных прямых (ни одной вещественной точки) — при условии B > 0.