Задание 5

Пример 1. В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков в отношении 1:4:5. Практика показала, что телевизоры, поступающие от первого, второго и третьего поставщиков, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 98%, 88% и 92% случаев. 1) Найти вероятность того, что поступивший в торговую фирму телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока. 2) Известно, что проданный телевизор потребовал ремонта в течение гарантийного срока. От какого поставщика вероятнее всего поступил этот телевизор?

Решение. 1) Обозначим через А_i события, заключающиеся в том, что телевизор поступил в торговую фирму от i-го поставщика (i = 1,2,3), В – телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока.

По условию Р(А₁) =; Р_А(В) = 0,98;

Используя формулу полной вероятности, находим

.

1. Событие – телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока. Тогда

По условию

Воспользуемся формулой Байеса

Таким образом, после наступления события вероятность гипотезы А₂ увеличилась с Р(А₂) = 0,4 до максимальной а гипотезы А₃ – уменьшилась от максимальной Р(А₃) = 0,5 до если ранее (до наступления события ) наиболее вероятной была гипотеза А₃, то теперь, в свете новой информации (наступление события ) наиболее вероятна гипотеза А₂ – поступление данного телевизора от второго поставщика.

Пример 2. Имеются 3 партии деталей по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях равно 20, 15, 10 соответственно. Из наудачу выбранной партии наугад извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Что вероятнее: детали извлечены из второй или третьей партии?

Решение. Обозначим через В событие – в каждом из двух испытаний была извлечена стандартная деталь.

Можно сделать 3 предположения (гипотезы): А₁ – детали извлекались из первой партии; А₂ – детали извлекались из второй партии; А₃ – детали извлекались из третьей партии.

Детали извлекались из наудачу взятой партии, поэтому вероятности гипотез одинаковы:

.

Найдем условную вероятность , т.е. вероятность того, что из первой партии были последовательно извлечены две стандартные детали. Это событие достоверно, так как в первой партии все детали стандартны, поэтому .

Найдем условную вероятность , т.е. вероятность того, что из второй партии были последовательно извлечены две стандартные детали:

.

Аналогично, вероятность того, что из третьей партии были последовательно извлечены две стандартные детали, будет равна:

.

Найдем сначала вероятность события В по формуле полной вероятности

.

Воспользовавшись теперь формулой Байеса, находим

.

Таким образом, более вероятно то, что обе детали были извлечены из второй партии.

1. На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит 25%, вторая – 35%, третья – 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5%, 4%, 2%. 1) Какова вероятность того, что случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным? 2) Известно, что случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. На какой фабрике вероятнее всего был произведен этот болт?

2. В цехе работают 20 станков. Из них 10 марки А, 6 марки В и 4 марки С. Вероятности того, что качество детали окажется отличным, для этих станков соответственно равны: 0,9, 0,8 и 0,7. 1) Какой процент бракованных деталей выпускает цех в целом? 2) Известно, что случайно выбранная деталь оказалась бракованной. На каком автомате вероятнее всего была произведена эта деталь?

3. 70% деталей, поступающих на сборку, изготовлены автоматом, дающим 2% брака, а остальные детали автоматом, дающим 5% брака. 1) Какова вероятность того, что случайно выбранная деталь оказалась бракованной? 2) Известно, что наудачу взятая деталь оказалась бракованной. На каком автомате вероятнее всего была произведена эта деталь?

4. Два автомата производят пакеты для молока, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартного пакета на первом автомате равна 0,06, на втором – 0,09. Производительность второго автомата вдвое больше, чем первого. 1) Найти вероятность того, что наудачу взятый пакет будет стандартным. 2) Известно, что наудачу взятый пакет оказался стандартным. На каком автомате вероятнее всего был произведен этот пакет молока?

5. Радиолампа может принадлежать к одной из 3 партий соответственно с вероятностями 0,25; 0,5; 0,25. Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов, равны для этих партий соответственно 0,1 – для первой, 0,2 – для второй, 0,4 – для третьей. 1) Найти вероятность того, что лампа проработает заданное число часов. 2) Известно, что лампа проработала заданное число часов. Какой партии она вероятнее всего принадлежит?

6. На двух автоматах изготавливаются одинаковые детали. Производительность первого автомата в 2 раза больше, чем второго. Вероятность изготовления детали высшего качества на первом автомате – 0,95, а на втором – 0,97. Детали с обоих автоматов поступают вместе на склад. 1) Определить вероятность того, что наудачу взятая со склада деталь окажется высшего качества. 2) Известно, что наудачу взятая со склада деталь высшего качества. На каком автомате эта деталь вероятнее всего была изготовлена?

7. У сборщика имеется 3 коробки деталей, изготовленных заводом № 1, 4 – заводом № 2. Вероятность того, что деталь завода № 1 стандартна, равна 0,7, а для завода № 2 – 0,9. Наудачу извлечена деталь. 1) Найти вероятность того, что вынутая деталь стандартна. 2) Известно, что вынута стандартная деталь. На каком заводе она вероятнее всего была изготовлена?

8. Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором – 10 белых и 10 черных шаров, в третьем – 20 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули шар. 1) Какова вероятность того, что вынут белый шар? 2) Известно, что вынут белый шар. Из какого ящика этот шар вероятнее всего был вынут?

9. Станок обрабатывает 3 вида деталей, причем все его время распределяется между ними в отношении 1: 5: 4. При обработке детали первого вида он работает с максимальной для него нагрузкой в течение 70% времени, при обработке детали второго вида – в течение 50% и третьего – 20% времени. 1) Какова вероятность того, что в случайно выбранный момент станок работал с максимальной нагрузкой? 2) Известно, что в случайно выбранный момент станок работал с максимальной нагрузкой. Какого вида деталь вероятнее всего в этот момент времени обрабатывал станок?

10. Пассажир может обратиться за покупкой билета в одну из 3 касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местоположения и равны соответственно 0,2; 0,3 и 0,5. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе билеты будут распроданы, для первой кассы равна 0,4, для второй – 0,5 и для третьей – 0,6. 1) Найти вероятность того, что пассажир купил билет. 2) Пассажир направился за билетом в одну из касс и купил билет. В какой кассе он вероятнее всего приобрел билет?

11. Электролампы изготовляются на двух заводах, причем первый производит 60% общего количества, второй – 40%. Продукция первого завода содержит 70% ламп высшего сорта, второго – 80%. В магазин поступает продукция с обоих заводов. 1) Найти вероятность того, что купленная лампа оказалась не высшего сорта. 2) Известно, что купленная лампа оказалась не высшего сорта. На каком заводе вероятнее всего изготовлена эта лампа?

12. Прибор может работать в двух режимах; нормальном и ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 80% всех случаев работы прибора, ненормальный – в 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время t в нормальном режиме равна 0,1; в ненормальном – 0,7. 1) Найти вероятность того, что прибор вышел из строя за время t. 2) Известно, что прибор вышел из строя за время t. В каком режиме вероятнее всего он работал?

13. Для участия в студенческих отборочных соревнованиях выделено из первой группы курса – 4, из второй – 6 и из третьей группы – 5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадет в сборную института, соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7. 1) Найти вероятность того, что наудачу выбранный студент попадет в сборную. 2) Известно, что один из студентов этого курса попал в сборную института. Из какой группы вероятнее всего этот студент?

14. Сборщик получил три ящика радиоламп; в первом ящике – 40 ламп, из них 20 окрашенных; во втором – 50, из них 10 окрашенных; в третьем – 30, из них 15 окрашенных. 1) Найти вероятность того, что взятая наудачу лампа оказалась окрашенной. 2) Известно, что взятая наудачу лампа оказалась окрашенной. Из какого ящика вероятнее всего эта лампа была взята?

15. В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием К, 30% – с заболеванием Р, 20% – с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0,7; болезни Р – 0,8; болезни М – 0,9. 1) Найти вероятность того, что больной, поступивший в больницу, был выписан полностью здоровым. 2) Известно, что больной, поступивший в больницу, был выписан полностью здоровым. Каким заболеванием вероятнее всего страдал больной?

16. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе, как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. 1) Найти вероятность того, что к бензоколонке подъехала для заправки машина. 2) Известно, что к бензоколонке подъехала для заправки машина. Что вероятнее: к бензоколонке подъехала легковая или грузовая машина?

17. Прибор может собираться из деталей высшего качества и деталей первого сорта. Около 40% приборов собирается из деталей высшего качества. Если прибор собран из высококачественных деталей, его надежность (вероятность безотказной работы за время t) равна 0,95; если из деталей первого сорта – надежность прибора 0,7. 1) Найти вероятность того, что прибор в течение времени t работал безотказно. 2) Известно, что прибор испытывался в течение времени t и работал безотказно. Из каких деталей вероятнее всего собран прибор?

18. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,7. 1) Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен. 2) Известно, что возникший во время работы машины сбой был обнаружен. В каком устройстве машины вероятнее всего произошел сбой?

19. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,6; ко второму – 0,4. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым – 0,95. 1) Найти вероятность того, что стандартное изделие при проверке будет признано стандартным. 2) Известно, что стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Каким товароведом проверялось данное изделие?

20. Вероятность попадания снаряда в башню танка при одном выстреле равна 0,2; в корпус – 0,6 и в гусеницу – 0,1. При попадании снаряда в башню танк поражается с вероятностью 0,3; в корпус – с вероятностью 0,1 и в гусеницу – с вероятностью 0,4. 1) Найти вероятность того, что танк будет поражен одним выстрелом. 2) Известно, что одним выстрелом танк был поражен. Куда вероятнее всего попал снаряд?

21. В тире имеется 5 ружей, вероятности попадания, из которых равны соответственно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. 1) Найти вероятность попадания при одном выстреле, если стреляющий берет одно из ружей наудачу. 2) известно, что стреляющий попал в мишень из наудачу выбранного ружья. Из какого ружья вероятнее всего был произведен выстрел?

22. На первом заводе на каждые 100 лампочек в среднем 10 нестандартных, на втором из 100 – 15 нестандартных; на третьем из 100 ‑ 20 нестандартных. Продукция этих заводов составляет соответственно 50%; 30% и 20% всех электролампочек, приобретенных жителями района. 1) Найти вероятность того, что наудачу приобретенная электролампочка будет стандартной. 2) Известно, что приобретенная электролампочка оказалась стандартной. На каком заводе вероятнее всего она была изготовлена?

23. Рабочий обслуживает 3 станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна 0,02; для второго – 0,03; для третьего – 0,04. Производительность первого станка в два раза больше, чем второго и в три раза меньше, чем третьего. 1) Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь годная. 2) Известно, что наудачу взятая деталь годная. На каком станке вероятнее всего она была обработана?

24. При отклонении от нормального режима работы двигателя срабатывает сигнализатор С-1 с вероятностью 0,8, сигнализатор С-2 – с вероятностью 1. Двигатели снабжают одним из сигнализаторов. Вероятность того, что двигатель снабжен сигнализатором С-1, равна 0,6, для сигнализатора С-2 – 0,4. 1) Найти вероятность того, что будет получен сигнал об отклонении от нормального режима работы двигателя. 2) Получен сигнал об отклонении от нормального режима работы двигателя. Что вероятнее: двигатель снабжен сигнализатором С-1 или сигнализатором С-2?

25. Вся продукция проверяется двумя контролерами. Вероятность того, что первый контролер пропустит нестандартное изделие, равна 0,01, а второй – 0,02. Вероятность того, что изделие попадет на проверку к первому контролеру, равна 0,55, а ко второму – 0,45. 1) Найти вероятность того, что взятое наудачу изделие с маркой «стандарт» оказалось бракованным. 2) Взятое наудачу изделие с маркой «стандарт» оказалось бракованным. Что вероятнее: это изделие проверялось первым или вторым контролером?

26. В вычислительной лаборатории имеется 6 клавишных автоматов и 4 полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95; для полуавтомата эта вероятность равна 0,8. Студент производит расчет на наудачу выбранной машине. 1) Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя. 2) Известно, что за время расчета машина не вышла из строя. Что вероятнее: студент проводил расчет на автомате или полуавтомате?

27. Нефтяные битумы поступают в цистернах с 2 нефтеперерабатывающих заводов, причем с первого завода поступает 75%, со второго – 25% от всего битума. Вероятность, что битум с первого завода удовлетворяет требованиям ГОСТа, равна 0,9; со второго – 0,8. 1) Найти вероятность того, что используемый в данный момент битум оказался удовлетворяющим требованиям ГОСТа. 2) Используемый в данный момент битум оказался удовлетворяющим требованиям ГОСТа. Что вероятнее: битум поступил с первого или со второго завода?

28. В пирамиде 5 винтовок, 3 из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при первом выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; а для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. 1) Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки. 2) Известно, что стрелок одним выстрелом поразил мишень из наудачу выбранной винтовки. Из какой винтовки вероятнее всего был произведен выстрел?

29. Подводная лодка атакует корабль и выпускает по нему одну торпеду. Вероятность попадания торпеды в носовую часть равна 0,4; в среднюю часть – 0,5; в кормовую часть – 0,3. Вероятность потопления корабля при попадании в носовую часть равна 0,5; в среднюю – 0,7 и в кормовую – 0,6. 1) Найти вероятность того, что корабль в результате атаки будет потоплен. 2) В результате атаки корабль потоплен. Что вероятнее: торпеда попала в носовую, среднюю или комовую часть корабля?

30. На вход с радиолокационного устройства с вероятностью 0,7 поступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью 0,3 – только одна помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то устройство регистрирует наличие какого-то сигнала с вероятностью 0,9; если только помеха – с вероятностью 0,4. 1) Найти вероятность, что сигнал будет зарегистрирован. 2) Известно, что устройство зарегистрировало наличие какого-то сигнала. Что вероятнее: получен полезный сигнал с помехой или только помеха?