Задание 8

Пример 1. В течение часа коммутатор получает в среднем 60 вызовов. Какова вероятность того, что за 30 сек., в течение которых телефонистки не было на месте, не будет ни одного вызова.

Решение. Воспользуемся формулой Пуассона для вероятности того, что за промежуток времени t наступит т событий

,

где , – среднее число событий в единицу времени (1 мин.)

Среднее число вызовов за 1 мин. равно  = 1; 30 сек. = 0,5 мин. Тогда а = 0,51 = 0,5. Следовательно,

.

Пример 2. На узел связи в среднем поступает 120 сообщений в час. Найти вероятность того, что за 1 мин. поступят а) либо одно, либо два сообщения; б) хотя бы одно сообщение; в) не более двух сообщений; г) менее 2 сообщений.

Решение. Среднее число сообщений в минуту равно  = 120 : 60=2, t = 1, = 2,

а) Пусть событие А – за час поступят либо одно, либо два сообщения. Тогда и по формуле Пуассона получим

,

.

Искомая вероятность Р(А) = Р₁(1) + Р₁(2) = 0,2707 + 0,2707 = 0,5414.

б) Пусть событие В – за минуту поступит хотя бы одно сообщение. Событие В равносильно событию, состоящему в поступление одного, двух или более сообщений, т.е. . Этим способом подсчитать искомую вероятность сложно, поэтому перейдем к противоположному событию , состоящему в том, что не поступило ни одного сообщения. Тогда .

Найдем

.

Следовательно,

.

в) Пусть событие С – за минуту поступит не более двух сообщений. Событие С равносильно событию, состоящему в поступление ни одного, одного или двух сообщений. Следовательно,

г) Пусть событие D – за час поступят менее двух сообщений. Событии D равносильно событию, состоящему в поступлении ни одного или одного сообщения. Следовательно,

.

1. Среднее число самолетов, прибывающих в аэропорт за 1 минуту, равно 2. Найти вероятность того, что за 3 минуты прибудут 2 самолета.

2. Книга в 1000 страниц имеет 100 опечаток. Какова вероятность того, что на случайно выбранной странице не менее 2 опечаток.

3. Вероятность промаха при каждом выстреле равна 0,0001. Найти вероятность не менее двух промахов при 5000 выстрелах.

4. Среднее число заявок, поступающих на предприятие быстрого обслуживания за 1 час, равно 3. Найти вероятность того, что за 2 часа поступит менее двух заявок.

5. В процессе эксплуатации операционной системы некоторой ЭВМ установлено, что в течение года в среднем происходит 60 сбоев. Найти вероятность того, что в течение месяца произойдет не более одного сбоя.

6. Агрегат содержит 2000 деталей. Вероятность выхода детали из строя за время работы агрегата равна 0,001. Найти вероятность выхода из строя более одной детали.

7. Среднее число вызовов, поступающих на АТС за 1 минуту равно 3. Найти вероятность того, что за 2 минуты поступит 5 вызовов.

8. Аппаратура содержит 2000 одинаково надежных элементов, вероятность отказа для каждого из них равна p = 0,0005. Какова вероятность отказа аппаратуры, если он наступает при отказе хотя бы одного из элементов?

9. Среднее число кораблей, заходящих в порт за 1 час, равно двум. Найти вероятность того, что за 2 часа в порт зайдет 5 кораблей.

10. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит 5 разбитых бутылок.

11. Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит 4 бракованные книги.

12. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет на 5 веретенах.

13. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено 3 изделия.

14. Среднее число заявок, поступающих на предприятие бытового обслуживания за 1 час равно двум. Найти вероятность того, что за 2 часа поступит не менее трех заявок.

15. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут не более двух элементов.

16. Среднее число вызовов, поступающих на АТС за 1 минуту, равно двум. Найти вероятность того, что за 3 минуты поступит три вызова.

17. Среднее число кораблей, заходящих в порт за 1 час, равно двум. Найти вероятность того, что за 4 часа в порт зайдет не менее пяти кораблей.

18. Среднее число самолетов, прибывающих в аэропорт за 1 минуту равно трем. Найти вероятность того, что за 2 минуты прибудут не более двух самолетов.

19. Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит 1 бракованную книгу.

20. Агрегат содержит 2000 деталей. Вероятность выхода детали из строя за время работы агрегата равна 0,001. Найти вероятность выхода из строя более одной детали.

21. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей окажется ровно 4 бракованных.

22. Среднее число поездов, прибывающих на железнодорожный вокзал за 1 час, равно трем. Найти вероятность того, что за 2 часа на железнодорожный вокзал прибудет не менее 3 поездов.

23. Среднее число вызовов, поступающих на АТС за 1 минуту равно двум. Найти вероятность того, что за 3 минуты поступит менее трех вызовов.

24. Вероятность ТОО, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 800 абонентов. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят не менее 3 абонентов?

25. Среднее число кораблей, заходящих в порт за 1 час, равно двум. Найти вероятность того, что за 4 часа в порт зайдет не менее пяти кораблей.

26. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,002. Найти вероятность того, что магазин получит две разбитые бутылки.

27. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность повреждения в пути хотя бы одного изделия.

28. Среднее число заявок, поступающих на предприятие бытового обслуживания за 1 час равно четырем. Найти вероятность того, что за 2 часа поступит менее 3 заявок.

29. Среднее число вызовов, поступающих на АТС за 1 минуту равно двум. Найти вероятность того, что за четыре минуты поступит не менее трех вызовов.

30. Среднее число самолетов, прибывающих в аэропорт за 1 минуту, равно трем. Найти вероятность того, что за 2 минуты прибудут два самолета.