- •Операторный метод анализа линейных систем. Введение. Основные понятия теории управления.
- •Операторный метод анализа линейных систем.
- •Описание элементов системы.
- •Уравнения элементов.
- •Передаточная функция.
- •Весовые и переходные функции звена.
- •Характеристики типовых звеньев.
- •Описания систем.
- •Структура и структурная схема системы.
- •Соотношения «вход - выход».
- •2. Структурные представления.
- •Устойчивость.
- •Устойчивость звена по входу.
- •Алгебраические критерии устойчивости.
- •Устойчивость по начальным условиям.
- •4. Устойчивость системы.
- •Установившаяся реакция и частотная характеристика.
- •Определение реакции при гармоническом воздействии.
- •Анализ типовых структур.
- •Соединения с отрицательной обратной связью.
- •Обобщенный критерий Найквиста.
-
Передаточная функция.
Можно записать (1.2) в следующей форме:
y (t) = H (D) v (t),
где H(D) – дробно - рациональная функция от D.
H (D) = – операторная передаточная функция.
Пока такая запись – символьная, т.к. не определено деление на операторный многочлен.
Пусть функция f(t), t>0, кусочно-непрерывная. Тогда ей можно поставить в соответствии:
Такая F(p) называется преобразованием Лапласа от f(t).
;
;
f (t) должно быть таким, чтобы:
Оказывается что такое преобразование очень удобно для решения дифференциальных уравнений т.к. легко показать что:
Теорема 1.1:Если, то
Доказательство:
(1.3)
Если f(0) = 0, то тогда операция дифференцирования в оригиналах заменяется в пространстве изображений по Лапласу умножением изображения F(p) на p при нулевых начальных условиях.
Точно также можно рассмотреть преобразование Лапласа от производных n-го порядка.
(1.4)
Значит, если предположить, что функция f и все ее n-1 производная в нуле равны нулю, то:
(1.4´)
Применяя такое преобразование к (1.1.1) получим:
(1.4’’)
-
Весовые и переходные функции звена.
Чтоб получить решение в оригиналах из (1.5) нужно применить обратное преобразование по Лапласу.
-
Свойства преобразования Лапласа
Так как в изображения имеется
Y (p) =H (p) ∙V (p), то очевидно что задача перехода в оригиналы связана с применения к последней формуле обратного преобразования Лапласа. Однако для этого приходилось бы применить интегрирование в комплексную плоскость.
Можно поступить проще: для интересующих нас случаев можно использовать простые соотношения, вытекающие из нескольких теорем:
Теорема 1.2 (о смещении)
Если преобразование Лапласа, то
F (p + a) = (1.5)
Смещение аргумента изображения на а приводит к умножению оригинала на .
Доказательство: По определению преобразования=
Теорема 1.3(запаздывания)
Если F(p)= , то (1.6)
Умножение изображения на приводит в пространстве оригиналов к сдвигу аргумента на (-τ).
Доказательство:
т.к. по условию функция f обращается в ноль для отрицательного аргумента, а если , то
отрицательна.
Теперь можно приступить к определению чему равняется оригинал от произведения изображений.
Определение: назовем сверткой двух функций f₁(t) и f₂(t) интеграл с переменным верхним пределом
Теорема 1.4(о свертке)
Пустьи
(1.7)
Доказательство: Запишем для F₂(p) теорему 1.3. Т.е. :
(1.6)
Домножим слева и справа на f₁(τ) и проинтегрируем по τ от 0 до ∞, тогда:
– было бы сверткой, если б вместо ∞ в верхнем пределе было бы t, но т.к.
т.е. подинтегральная функция (t-τ) отрицательна, то теорема доказана.
Ранее было введено понятие комплексной передаточной функции
Теперь имеется возможность на основании доказанных во 2 пункте теорем перейти к оригиналам и получить зависимость y(t) через v(t). Воспользовавшись (1.7) можно записать
(1.8) , что фактически является общим решением вырождающим выход звена y(t) через вход в звено v(t). Функция называется весовой функцией звена. Значит, задача сводится к построению по заданной весовой функции
В ТУ важное значение имеет реакция звена на так называемый единичный импульс.
Введем функцию Хэвисайда:
Пусть v(t) = 1(t)
Сначала найдем чему равно изображение по Лапласу от этой функции:
Определение: Назовемпереходной функцией:
(1.9)
Тогда получается чтоэто и есть реакция на 1(t).
Найдем теперь соотношение в изображениях между и , для этого докажем теорему:
Теорема 1.5: тогда
Преобразование Лапласа от интеграла с переменным верхним пределом от f(t)в пространстве изображений задает умножение F(p) образа на .
Доказательство:
Тогда учитывая (1.9) находим, что = (1.10) связь в изображениях между весовой и переходной функциями.
В ТУ классическими являются следующие звенья:
-
Идеальный усилитель;
-
Интегратор;
-
Апериодическое звено;
-
Колебательное звено.
Установим для всех таких типичных звеньев их характеристики H(p), h(t), π(t).