- •Операторный метод анализа линейных систем. Введение. Основные понятия теории управления.
- •Операторный метод анализа линейных систем.
- •Описание элементов системы.
- •Уравнения элементов.
- •Передаточная функция.
- •Весовые и переходные функции звена.
- •Характеристики типовых звеньев.
- •Описания систем.
- •Структура и структурная схема системы.
- •Соотношения «вход - выход».
- •2. Структурные представления.
- •Устойчивость.
- •Устойчивость звена по входу.
- •Алгебраические критерии устойчивости.
- •Устойчивость по начальным условиям.
- •4. Устойчивость системы.
- •Установившаяся реакция и частотная характеристика.
- •Определение реакции при гармоническом воздействии.
- •Анализ типовых структур.
- •Соединения с отрицательной обратной связью.
- •Обобщенный критерий Найквиста.
4. Устойчивость системы.
Система осуществляет устойчивые преобразования от каждого внешнего входа к каждому внешнему входу. Следовательно, устойчивость системы обеспечивается, если
-
строго реализуемы все соотв. Переходные функции;
-
характеристический многочлен - устойчив.
По аналогии, следует считать систему устойчивой, если при любых начальных условиях и отсутствии внешних воздействий процессы на всех выходах -> 0 при t->. Однако тогда для всех выходов справедливы однородные уравнения
И следовательно система устойчива по начальным условиям, если устойчив ее характеристический многочлен.
-
и 2) достаточны для устойчивости системы в обоих смыслах.
-
Установившаяся реакция и частотная характеристика.
-
Определение реакции при гармоническом воздействии.
Определение: назовем установившейся реакцией на заданное воздействие , такую функцию , что
Где - решение (1.2) при нулевых начальных условиях.
Пусть воздействие .
Теорема 4.1. если звено H(p) является устойчивым, то устойчивая реакция на гармоническое воздействие (4.2) является той же тригонометрической функцией с той же частотой и амплитудой и относительным сдвигом фазы
Доказательство:
Найдем реакцию на
Согласно (1.6)
Т.к. звено устойчиво, то выполнено условие теоремы 3.1
Следовательно :
- по определению - преобразования
Следовательно:
- является установившейся реакцией на .
В силу линейности реакция на сумму равна сумме реакций и отсюда вытекает, что реакцией на является , а реакцией на является
.
Пример:
Рассмотрим:
Применим критерий Рауса.
k |
0 |
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
2 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
;
: вычисляем
;
:
.
;
: вычисляем
;
– многочлен устойчив.
Тогда
.
.
.
Где
Комплекснозначная функция называется комплексной частичной характеристикой.
Если изменять от 0 до ,то каждое определяется точкой на комплексной плоскости для каждого , то такое множество точек называется годографом частотной характеристики.
Всякое комплексное число можно представить 2-мя вещественными числами следующими способами:
-
Модулем и аргументом
-
Вещественной и комплексной частью .
Если – АЧХ, – ФЧХ, – вещественная ЧХ, - мнимая ЧХ.
Если известны и , то, согласно теореме 4.1, для определения амплитуды и фазы устойчивой реакции на гармоническое воздействие можно пользоваться следующим приемом, используя результаты теоремы 1.4.1.
Устойчивая реакция на полиномиальное воздействие. Рассмотрим внешнее воздействие:
Теорема 4.2 Устойчивая реакция устойчивого звена на полиномиальное воздействие (4.3) также является многочленом, представимым виде:
где:
Доказательство:
Разложим в ряд Тейлора в точке t. Т.к. v(t)-многочлен N-ой степени, то в этом разложении следует оставить только (N+1) первых членов; тогда:
Следовательно:
Существование предела
следует из того факта, что h(t) соответствует устойчивой по входу H(p), имеет в своем представлении слагаемые с , где . Тогда сразу
С другой стороны:
Теорема доказана.
Следствия из теоремы 4.2.
-
Если . То .
-
Если то .
Пример:
Пусть , а . Тогда
и .
Эти результаты получены при изучении реакции одного звена.