6. Групова оцінка об'єктів
У даному параграфі розглядається рішення задачі побудови узагальненої групової оцінки об'єктів шляхом обробки індивідуальних оцінок експертів. Відповідно до гіпотези про те, що експерти є досить точними "вимірниками", групова оцінка будується на основі застосування методів осереднення. Це відповідає тому, що індивідуальні оцінки експертів утворять компактну групу й у якості найбільш погодженої групової оцінки використовується математичне чекання (середнє значення) чи медіана (найбільш ймовірна оцінка).
Нехай d експертів зробили оцінку m об'єктів по l показниках. Результати оцінки представлені у вигляді величин (xhіs), де s - номер експерта, і - номер об'єкта, h - номер показника (ознаки) порівняння. Якщо оцінка об'єктів зроблена методом ранжирування, то величини (xhіs) являють собою ранги. Якщо оцінка об'єктів виконана методом безпосередньої оцінки чи методом послідовного порівняння, то величини xhіs являють собою числа чи бали. Обробка результатів оцінки істотно залежить від розглянутих методів виміру.
Розглянемо спочатку випадок, коли величини xhіs (s = 1, 2, ..., d ; і = 1, ..., m; h = 1, ..., l) отримані методами безпосередньої оцінки чи послідовного порівняння і, отже, є числами чи балами. Для одержання групової оцінки об'єктів у цьому випадку можна скористатися середнім значенням оцінки для кожного об'єкта.
де qh - коефіцієнти ваг показників порівняння об'єктів, ks - коефіцієнти компетентності експертів. Коефіцієнти ваг показників і компетентності експертів є нормованими величинами:
Коефіцієнти ваг показників можуть бути визначені експертним шляхом. Якщо q -коефіцієнт ваги h-го показника, що привласнюється s-м експертом, то середній коефіцієнт ваги h-го показника по всіх експертах дорівнює
Одержання групової експертної оцінки шляхом підсумовування індивідуальних оцінок з вагами компетентності і важливості показників при вимірі властивостей об'єктів у кількісних шкалах ґрунтуються на припущенні про виконання аксіом теорії корисності фон Неймана - Моргенштерна як для індивідуальних, так і групової оцінки [99] і умові нерозрізненості об'єктів у груповому відношенні, якщо вони нерозрізнені у всіх індивідуальних оцінках (частковий принцип Парето). У реальних задачах ці умови, як правило, виконуються, тому одержання групової оцінки об'єктів шляхом підсумовування з вагами індивідуальних оцінок експертів широко застосовується на практиці.
Коефіцієнти компетентності експертів можна обчислити по апостеріорним даним, тобто за результатами оцінки об'єктів. Основною ідеєю цього обчислення є припущення про те, що компетентність експертів повинна оцінюватися по ступені погодженості їхніх оцінок із груповою оцінкою об'єктів.
Алгоритм обчислення коефіцієнтів компетентності експертів має вид рекурентної процедури:
Обчислення починаються з t = 1. У формулі (6.13) початкові значення коефіцієнтів компетентності приймаються однаковими і рівними k0s = 1/d. Тоді по цій формулі групові оцінки; об'єктів першого наближення рівні середнім арифметичним значенням оцінок експертів
Далі обчислюється величина 1 по формулі (6.15):
і значення коефіцієнтів компетентності першого наближення по формулі (6.16)
Використовуючи коефіцієнти компетентності першого наближення, можна повторити весь процес обчислення по формулах (6.14), (6.15), (6.16) і одержати другі наближення величин x2і, 2, k2s.
Розглянемо тепер випадок, коли експерти роблять вимір об'єктів у порядковій шкалі методом ранжирування, так що величини xhіs (де і - номер об'єкта, s - номер експерта, h - номер показника порівняння об'єктів) є ранги. Задачею обробки є побудова узагальненого ранжування по індивідуальним ранжуванням експертів. Для простоти розглянемо спочатку випадок однієї ознаки порівняння, тому індекс h у величин xhіs опустимо. Кожне ранжування можна представити у виді матриці парних порівнянь з елементами, обумовленими за правилом
де xіs і xks - ранги, що привласнюються s-м експертом і-му і k-му об'єктам. Нехай, наприклад, дане ранжування одним експертом (s = 1).
O1 ≻ O2 ∾ O3 ≻ O4 ≻ O5.
Тоді матриця парних порівнянь для цього ранжування має вигляд табл. 6.2.
ТАБЛИЦЯ 6.2
|
|
O1 |
O2 |
O3 |
O4 |
O5 |
|
О1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
O2 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
О3 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
O4 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
O5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Якщо є d експертів, то кожен експерт дає свою ранжуваня, якій відповідає матриця парних порівнянь. Таким чином, кількість матриць парних порівнянь дорівнює числу експертів.
Введемо відстань (метрику) між матрицями парних порівнянь, що будемо обчислювати по формулі
Зміст цього вираз полягає в тому, що відстань між матрицями парних порівнянь визначається числом порозрядних розбіжностей усіх значень елементів матриць (метрика Хеммінга).
Використовуючи цю метрику, визначимо узагальнену ранжировку як таку матрицю парних порівнянь, що найкраще погодиться з матрицями парних порівнянь, одержуваними з ранжировок експертів. Поняття найкращого узгодження на практиці найчастіше визначають як медіану.
Медіаною є така матриця парних порівнянь, сума відстаней від якої до всіх матриць парних порівнянь, одержуваних експертами, є мінімальною.
Покажемо, що побудова матриці парних порівнянь, що відповідає медіані, здійснюється за принципом простої більшості голосів експертів для кожного елемента матриці. Модуль різниці перемінних у (6.22) дорівнює або одиниці, або нулю, тому модуль різниці дорівнює квадрату цієї різниці. Отже, замість виразу (6.22) можна записати
Зводячи члени в круглій дужці в квадрат і, з огляду на те, що квадрат змінної дорівнює самій змінній, одержуємо з (6.23)
Підсумовуючи спочатку по індексі s і вводячи позначення
одержуємо з (6.24)
Перша сума в квадратній дужці постійна і не залежить від змінної yіk. Тому мінімум квадратної дужки в (6.26) відповідає максимуму другої суми. Отже,
Максимум по змінним yіk, що приймає значення 0,1, досягається при наступному правилі рішення:
де d - кількість експертів.
Величини aіk відповідно до (6.25) являють собою кількість голосів, поданих експертами за перевагу і-го об'єкта k-му об'єкту. Тому в узагальненій матриці парних порівнянь відповідно до оптимальних правил рішення (6.27) в іk-м елементі ставиться одиниця, тобто приймається, що Oі ≻Ok, якщо більше половини експертів висловилися за цю перевагу. Таким чином, всі елементи узагальненої матриці парних порівнянь визначаються за правилом більшості голосів.
У розглянутому алгоритмі побудови узагальненої матриці парних порівнянь можна врахувати компетентність експертів шляхом уведення коефіцієнтів компетентності ks у співвідношення (6.22):
Виконуючи перетворення, аналогічні співвідношенням (6.23) - (6.28), одержуємо для випадку обліку коефіцієнтів компетентності експертів наступне правило побудови узагальненої матриці парних порівнянь:
де величини bіk рівні
Величина порога в (6.30) стала рівною 1/2 унаслідок того, що величини bіk можна розглядати як імовірність того, що і-й об'єкт вважається переважним перед k-м об'єктом
При наявності декількох ситуацій експерти упорядковують об'єкти (рішення) для кожної ситуації окремо . Якщо відомі імовірності ситуацій р1, р2, ..., рn, де n - кількість ситуацій, то можна побудувати узагальнене ранжування, осереднену по всіх ситуаціях. Введемо у елементів матриць парних порівнянь індекс j - номер ситуацій ysjіk. У цьому випадку узагальнена матриця парних порівнянь буде визначатися з умови
Виконуючи перетворення, аналогічні попереднім, одержуємо наступне правило побудови елементів узагальненої матриці парних порівнянь, осереднених за допомогою ймовірностей по всіх ситуаціях:
де величини cіk рівні
В окремому випадку однакової компетентності експертів величини cіk обчислюються по формулі
Правило побудови елементів узагальненої матриці парних порівнянь (6.33) є найбільш загальним і включає, як окремий випадок, правила (6.28), (6.30).
Побудова узагальненої матриці парних порівнянь може бути зроблена з урахуванням умовних ймовірностей прийняття помилкових рішень. Алгоритм одержання елементів цієї матриці має вигляд, аналогічний (6.33), але з іншим значенням порога.
Правило (6.33) визначає групову оцінку парних порівнянь. Для одержання узагальненого ранжування по матриці парних порівнянь застосовується послідовне виділення не домінуючих об'єктів. Оскільки матриця парних порівнянь описує граф, то послідовне виділення недомінуючих об'єктів відповідає послідовному виділенню ядер графа. Для послідовного виділення недомінуючих об'єктів виробляється операція транзитивного замикання матриці парних порівнянь і ранжирування об'єктів по цій матриці на основі підрахунку кількості одиниць у кожнім стовпці матриці. Об'єкт, що має у своєму стовпці найменшу кількість одиниць, одержує перший ранг; другий ранг одержує об'єкт, що має у своєму стовпці більше одиниць, чим перший об'єкт, але менше всіх інших об'єктів, і т.д.
Операція транзитивного замикання полягає в послідовному множенні матриці парних порівнянь саму на себе доти, поки отриманий добуток не буде відрізнятися від попереднього кроку множення.
Слід зазначити, що якщо вихідна інформація від експертів по оцінці об'єктів представляється у виді матриць парних порівнянь, то можливі випадки порушення умови транзитивності. Це обумовлено тим, що експерт робить порівняння тільки пар об'єктів, а умова транзитивності пов'язана з розглядом не менш трьох об'єктів. При ранжуваннях експерт автоматично виконує умову транзитивності, інакше це буде порушувати логіку упорядкування об'єктів. Порушення умови транзитивності в деяких матрицях парних порівнянь практично усувається при підсумовуванні всіх матриць парних порівнянь, тобто при обчисленні aіk по формулі (6.25). Це випливає з припущення, що лежить в основі алгоритмів про те, що експерти є "гарними вимірниками", тобто вони можуть допускати невеликі помилки. Осереднення результатів по безлічі експертів нівелює індивідуальні помилки експертів, у результаті чого окремі нетранзитивності об'єктів усуваються.
Природно, що побудова узагальненого ранжування об'єктів за результатами їхніх парних порівнянь припускає, що всі об'єкти порівнюються експертами один з одним. Однак можлива побудова узагальненого ранжування за результатами парних порівнянь тільки частини об'єкта. Для цього випадку алгоритми побудови узагальненого ранжування мають більш складний вид.