- •Предел функции в точке.
- •Геометрический смысл.
- •Т.Е. Для всех значений х, попадающих в дельта-окрестность точки х0, соответствующие значения функции попадают в е-окрестность величины а.
- •Свойства пределов функции в точке.
- •Предел функции и арифметические операции.
- •Предел функции и неравенства.
- •Односторонние пределы.
- •Свойства пределов.
- •Предел композиции функции.
- •Первый замечательный предел.
- •Делим полученное неравенство на r2, получаем:
- •Второй замечательный предел.
- •Бесконечно малые функции (величины) и их свойства.
- •Свойства бесконечно малых величин:
- •Бесконечно большие функции (величины).
- •Свойства б/б величин.
- •Связь между б/б и б/м функциями.
- •Сравнение бесконечно малых величин.
- •Раскрытие неопределенностей.
- •Способы устранения неопределенностей.
- •Алгебраические методы.
- •Применение замечательных пределов.
- •Метод эквивалентных б/м функций.
- •Сравнение бесконечно больших величин.
- •Пределы монотонных функций.
- •Общий признак существования конечного предела. (Критерий Коши)
Раскрытие неопределенностей.
Если при подстановке предельного значения х в выражение под знаком предела получается величина вида [], [], [∞-∞], [1∞], то говорят, что имеет место соответствующая неопределенность.
Способы устранения неопределенностей.
-
Алгебраические методы.
а) Разложение на множители. ==10. ([])
б) Устранение иррациональности. ([])
в) Выделение главного члена. ([])
-
Применение замечательных пределов.
а) при тригонометрических выражениях
б) при неопределенности [1∞].
-
Метод эквивалентных б/м функций.
Примеры. С помощью замены эквивалентных найти пределы:
1) . Имеем ln(1+3x) ~3x, sin 5x~5x. Поэтому =
2) . Имеем ~x2, ln(cosx)=ln(1+(cosx-1))~cosx-1. Поэтому ==-2
3) =====
==
Сравнение бесконечно больших величин.
Пусть функции А(х) и В(х) определены в некоторой окрестности V(x0) точки х0, за исключением, быть может самой точки х0. Пусть (для определенности) функции А(х) и В(х) положительные бесконечно большие при х→х0+0, т.е.
и
-
если , то функцию А(х) называется б.б. более низкого порядка по сравнению с В(х) при х→х0+0.
-
если =с≠0, с≠, то функции А(х) и В(х) называются б.б. одного порядка при х→х0+0.
-
если =, то функцию А(х) называют б.б. более высокого порядка по сравнению с В(х) при х→х0+0.
-
если отношение не имеет придела при х→х0+0, то говорят, что б.б. функции α(х) и β(х) не сравнимы при х→х0+0.
-
если =с≠0, с≠, то А(х) называется б.б. n –го порядка по сравнению с В(х) при х→х0+0. (n>0, не обязательно целое).
Из предыдущих пунктов следует, что
1) Если n=1, то функция А(х) б.б. одного порядка с В(х) при х→х0+0.
2) Если n>1, то функция А(х) б.б. более высокого порядка по сравнению с В(х) при х→х0+0
3) Если n<1, то функция А(х) б.б. более низкого порядка по сравнению с В(х) при х→х0+0
Пределы монотонных функций.
Теорема 1. (б.д.?)Пусть функция f(x) монотонно возрастает (строго возрастает) на множестве Х. Пусть в любой левой полуокрестности точки х0 (х0-;х0) существуют точки множества Х, отличные от х0. (Число х0 может быть как конечным, так и равным +, в этом случае левая полуокрестность это хХ: x<x0).
1) Если при этом функция f(x) ограничена сверху, т.е. существует число С такое, что f(x)С хХ, то при х→х0-0 функция f(x) имеет конечный предел.
2) Если f(x) сверху не ограничена, то .
Доказательство.
1) Т.к. функция f(x) ограничена сверху, тогда существует точная верхняя граница множества {f(x)}, xX. Пусть m=. Тогда хХ f(x)m. (1)
Возьмем сколь угодно малое >0 и рассмотрим число m-.
Т.к. m-<m, то по свойству супремума на множестве {f(x)}, xX, обязательно найдется элемент >m-.
Т.к. функция f(x) монотонно возрастает на множестве Х, то хХ, удовлетворяющих условию х> будет f(x) и, следовательно, f(x)>m- (2).
Т.о. хХ: х> будут выполняться оба неравенства (1) и (2), т.е.
m-<f(x)m, значит, m-<f(x)m+ f(x)-m<.
а) Положим =а- или =а-, где а – конечное число. В этом случае хХ, удовлетворяющих неравенству а-<x<a, будет f(x)-m<, а это означает m=
б) Положим =, если а=+ (можно считать, что =>0). В этом случае хХ, удовлетворяющих неравенству x>, будет f(x)-m<, а это означает m=
2) (б.д.?) Допустим, что функция f(x) не ограничена сверху, т.е. не ограничено сверху множество {f(x)}, xX. Это значит, что какое бы большое число М>0 ни взять на множестве {f(x)}, xX, обязательно найдется хотя бы один элемент такой, что будет >М.
Т.к. функция f(x) монотонно возрастает на множестве Х, то хХ, удовлетворяющих условию х> будет f(x) и, следовательно, f(x)>М.
а) Положим =а- или =а-, где а – конечное число. В этом случае хХ, удовлетворяющих неравенству а-<x<a, будет f(x)>М, а это означает =+.
б) Положим =, если а=+ (можно считать, что =>0). В этом случае хХ, удовлетворяющих неравенству x>, будет f(x)>М, а это означает =+. Ч.т.д.
Теорема 2. Пусть функция f(x) монотонно убывает (строго убывает) на множестве Х. Пусть в любой левой полуокрестности точки х0 (х0-;х0) существуют точки множества Х, отличные от х0. (Число х0 может быть как конечным, так и равным +, в этом случае левая полуокрестность это хХ: x<x0).
1) Если при этом функция f(x) ограничена снизу, т.е. существует число М, такое, что f(x)М хХ, то при х→х0-0 функция f(x) имеет конечный предел.
2) Если f(x) снизу не ограничена, то .