Тема 6. Многомерный статистический анализ

Данная тема знакомит студентов с некоторыми методами многомерного статистического анализа (МСА), которые получили наибольшее распространение. При изучении данной темы необходимо уделить особое внимание типам задач, для решения которых используются методы МСА. Технология решения задач подробно рассмотрена в [7]. Практическое применение методов МСА требует обязательного использования вычислительной техники и специального программного обеспечения. Программа курса предусматривает по данной теме выполнение лабораторной работы с помощью программы СтатЭксперт.

Факторный и компонентный анализ в большинстве случаев проводятся совместно.

Компонентный анализ является методом определения структурной зависимости между случайными переменными. В результате его использования получается сжатое описание малого объема, несущее почти всю информацию, содержащуюся в исходных данных. Главные компоненты получаются из исходных переменных путем целенаправленного вращения, т.е. как линейные комбинации исходных переменных. Вращение производится таким образом, чтобы главные компоненты были ортогональны и имели максимальную дисперсию среди возможных линейных комбинаций исходных переменных X. При этом переменные не коррелированы между собой и упорядочены по убыванию дисперсии (первая компонента имеет наибольшую дисперсию). Кроме того, общая дисперсия после преобразования остается без изменений.

Факторный анализ является более общим методом преобразования исходных переменных по сравнению с компонентным анализом.

Факторный анализ

Факторный анализ - выявление и обоснование действия различных признаков и их комбинаций на исследуемый процесс путем снижения их размерности. Такая задача решается, как правило, путем "сжатия" исходной информации и выделения из нее наиболее "существенной" информации, т.е. описание объектов меньшим числом обобщенных признаков, называемых факторами.

При использовании методов факторного анализа решаются следующие задачи: [3]

• отыскание скрытых, но объективно существующих закономерностей исследуемого процесса, определяемых воздействием внутренних и внешних причин;

• описание изучаемого процесса значительно меньшим числом факторов по сравнению с первоначально взятым количеством признаков;

• выявление первоначальных признаков, наиболее тесно связанных с основными факторами;

• прогнозирование процесса на основе уравнения регрессии, построенного по полученным факторам.

Кластерный анализ

Кластерный анализ — это совокупность методов, позволяю­щих классифицировать многомерные наблюдения, каждое из которых описывается набором признаков (параметров) Х₁, Х₂, ..., Х_k. Целью кластерного анализа является образование групп схо­жих между собой объектов, которые принято называть кластера­ми (класс, таксон, сгущение).

Кластерный анализ — одно из направлений статистического исследования. Особо важное место он занимает в тех отраслях науки, которые связаны с изучением массовых явлений и про­цессов. Необходимость развития методов кластерного анализа и их использования продиктована тем, что они по­могают построить научно обоснованные классификации, выявить внутренние связи между единицами наблюдаемой совокупности. Кроме того, методы кластерного анализа могут ис­пользоваться с целью сжатия информации, что является важным фактором в условиях постоянного увеличения и усложнения по­токов статистических данных.

Методы кластерного анализа позволяют решать следующие задачи [2]:

• проведение классификации объектов с учетом признаков, отражающих сущность, природу объектов. Решение такой задачи, как правило, приводит к углублению знаний о со­вокупности классифицируемых объектов;

• проверка выдвигаемых предположений о наличии некото­рой структуры в изучаемой совокупности объектов, т.е. поиск существующей структуры;

• построение новых классификаций для слабоизученных яв­лений, когда необходимо установить наличие связей внутри совокупности и попытаться привнести в нее структуру.