- •1. Числовая последовательность ….
- •2. Монотонные…
- •3. Функцией
- •4. Пределы.
- •7. Свойства пределов
- •8. Предельный переход в неравенстве (д-во
- •9. Первый замечательный предел
- •10. Непрерывность
- •11. Точки разрыва
- •12. Вейерштрасс
- •13. Второй замечательный предел.
- •14. Производная функции ….
- •15. Вычисление производных
- •16. Таблица производных (см. Шпору)
- •17. Производная сложной функции
- •18. Производные высших порядков
- •19. Классификация б.М.Ф.
- •20. Дифференциал.
- •21. Дифференцируемость
- •22. Теорема Ферма:
- •23.Теорема Ролля:
- •24. Теорема Лагранжа:
- •25. Правила Лопиталя
- •26. Монотонность
- •27. Экстремумы (Док-во: файл)
- •28. Выпуклость (Док-во: файл)
- •29. Асимптоты
- •30. Формула Тейлора
- •31. Разложение в ряд Тейлора: см. Фотофайл (взять из нета)
- •32. Функции нескольких переменных
- •33. Теорема Вейерштрасса для функций нескольких переменных.
- •34. Частные производные
- •35. Дифференцируемость двух переменных. (Док-во: файл)
- •36. Производная по направлению
- •37. Градиентом функции
- •38. Свойство градиента двух переменных.
- •39. Экстремумы (теоремы с доказательствами)
- •40. Условный экстремум.
- •41. Первообразная и неопределенный интеграл.
- •42. Свойства первообразных и неопределенного интеграла.
- •43. Таблица интегралов (см. Шпору)
- •44. Основные методы вычисления неопределенных интегралов.
- •45. Определенный интеграл и суммы Римана. (Внести формулы в шпору)
- •46. Свойства определенного интеграла.
- •47. Среднее значение.
- •48. Интеграл с верхним пределом
- •49. Формула Ньютона-Лейбница
- •50. Способы вычисления определенного интеграла. (д-во: с. 231-232)
- •51 Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования
- •52 Несобственные интегралы от неограниченных функций
46. Свойства определенного интеграла.
1) (Инвариантность) INT[a,b](f(x)dx) = INT[a,b](f(t)dt)
2. INT[a,b](cf(x)dx) = c*INT[a,b](f(x)dx)
3. INT[a,a](f(x)dx) = 0
4. Если f(x)>=0, то INT[a,b](f(x)dx), a<b
5. INT[a,b]((f(x)+g(x))dx) = INT[a,b](f(x)dx) + INT[a,b](g(x)dx)
6. INT[a,b](f(x)dx) = -INT[b,a](f(x)dt)
7. C принадлежит (а,b): INT[a,c](f(x)dx) + INT[c,b](f(x)dx)
8. Теорема о среднем: INT[a,b](f(x)dx) = f(c)(b-a), где c – середина [a,b]
9. Сохранение знака: INT[a,b](f(x)dx) того же знака, что a<b
10. Если f1(x)<=f2(x), то для любого х из [a,b] INT[a,b](f1(x)dx)<= INT[a,b](f2(x)dx)
11. f(x) непрерывна на [a,b]. Стало быть, существует наибольшее и наименьшее значения (m,M).
m(b-a)<= INT[a,b](f(x)dx)<M(b-a)
12. INT[a,b](|f(x)|dx)>=| INT[a,b](f(x)dx)|
13. Теорема Барроу: (INT[a,х](f(t)dt))’x = f(x)
14. INT[-a,a](f(x)dx) = 0. Интеграл по симметричному промежутку равен нулю.
47. Среднее значение.
Теорема о среднем: INT[a,b](f(x)dx) = f(c)(b-a), где c – середина [a,b], при условии, что f(x) непрерывна на [a,b].
Доказательство: По формуле Ньютона-Лейбница имеем:
INT[a,b](f(x)dx) = F(x) [a,b] = F(b)-F(a), где F’(x)=f(x). Применяя к F(b)-F(a) теорему Лагранжа. получим:
F(b)-F(a) = F’(c)(b-a)=f(c)(b-a).
Число f(c) = 1/(b-a) * INT[a,b](f(x)dx) есть среднее значение функции на отрезке (a,b).
48. Интеграл с верхним пределом
Рассмотрим интеграл INT[a,х](f(t)dt) , x принадлежит (a,b). В данном интеграле нижний предел=const, а верхний предел – переменная. Величина этого интеграла является функцией зависящей от верхнего предела х, обозначим её как F(х) и этот интеграл назовём интегралом с переменным верхним пределом.
Теорема Барроу: Производная от непрерывной функции по переменному верхнему пределу существует и равна подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т.е.. (INT[a,х](f(t)dt))’x = f(x).
Док-во: (INT[a,х](f(t)dt))’x = f(x) = F(t) [a,x] = F(x) – F(a), и (INT[a,х](f(t)dt))’x = (F(x) – F(a))’x = F’(x) – 0 =f(x)
49. Формула Ньютона-Лейбница
Если функция y=f(x) непрерывна на [a;b] и F(x) – какая либо первообразная функции на [a;b], т.е. F’(x)=f(x), то имеет место формула: INT[a,b](f(x)dx) = F(b) – F(a)
50. Способы вычисления определенного интеграла. (д-во: с. 231-232)
1.Формула Ньютона-Лейбница
INT[a,b](f(x)dx) = F(b) – F(a)
2. Интегрирование подстановкой (замена переменной): если x=g(t) и x’=g’(t) непрерывны при t прин. [c,d], МЗФ x=g(t) при t прин. [c,d] является [a,b], g(c)=a и g(d)=b, nj
INT[a,b](f(x)dx) = INT[c,d](f(g(t))*g’(t)dt)
3. Интегрирование по частям: если u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на [a,b], то имеет место формула: INT[a,b](udv) = uv[a,b] - INT[a,b](vdu)
51 Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования
Определение: пусть функция y=f(x) определена на промежутке [a;+¥) интегрируема по любому промежутку внутри этого интервала, т.е. существует INT[a,b](f(x)dx), b>a. Тогда если существует предел lim(INT[a,b](f(x)dx) (b->беск.), то он называется несобственным интегралом первого рода INT[a,+беск.](f(x)dx).
Замечание: если предел существует и конечен, то несобственный интеграл – сходящийся, если предел не существует или равен бесконечности, то интеграл – расходящийся.
По аналогии определяется интеграл на промежутке (-¥;b]: INT[-беск.,b](f(x)dx) = lim(INT[a,b](f(x)dx) (a->беск.)
Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой:
lim(INT[a,b](f(x)dx)= (a->беск., b-> беск.) = INT[-беск.,с](f(x)dx) + INT[с,+беск.](f(x)dx), где с – произвольное число.