- •1. Числовая последовательность ….
- •2. Монотонные…
- •3. Функцией
- •4. Пределы.
- •7. Свойства пределов
- •8. Предельный переход в неравенстве (д-во
- •9. Первый замечательный предел
- •10. Непрерывность
- •11. Точки разрыва
- •12. Вейерштрасс
- •13. Второй замечательный предел.
- •14. Производная функции ….
- •15. Вычисление производных
- •16. Таблица производных (см. Шпору)
- •17. Производная сложной функции
- •18. Производные высших порядков
- •19. Классификация б.М.Ф.
- •20. Дифференциал.
- •21. Дифференцируемость
- •22. Теорема Ферма:
- •23.Теорема Ролля:
- •24. Теорема Лагранжа:
- •25. Правила Лопиталя
- •26. Монотонность
- •27. Экстремумы (Док-во: файл)
- •28. Выпуклость (Док-во: файл)
- •29. Асимптоты
- •30. Формула Тейлора
- •31. Разложение в ряд Тейлора: см. Фотофайл (взять из нета)
- •32. Функции нескольких переменных
- •33. Теорема Вейерштрасса для функций нескольких переменных.
- •34. Частные производные
- •35. Дифференцируемость двух переменных. (Док-во: файл)
- •36. Производная по направлению
- •37. Градиентом функции
- •38. Свойство градиента двух переменных.
- •39. Экстремумы (теоремы с доказательствами)
- •40. Условный экстремум.
- •41. Первообразная и неопределенный интеграл.
- •42. Свойства первообразных и неопределенного интеграла.
- •43. Таблица интегралов (см. Шпору)
- •44. Основные методы вычисления неопределенных интегралов.
- •45. Определенный интеграл и суммы Римана. (Внести формулы в шпору)
- •46. Свойства определенного интеграла.
- •47. Среднее значение.
- •48. Интеграл с верхним пределом
- •49. Формула Ньютона-Лейбница
- •50. Способы вычисления определенного интеграла. (д-во: с. 231-232)
- •51 Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования
- •52 Несобственные интегралы от неограниченных функций
37. Градиентом функции
Z=f(M) в точке М(х;у) называется вектор, координаты которого равны частным производным в точке М. gradZ={Zx’(M);Zy’(M)}.
используя понятие градиента производная по направлению может быть записана как: f’x(x;y)cosa + f’y(x;y)cosb (Если l – орт направления, то: dZ/dl = gradf(x;y)*вектор«l»). Градиент показывает направление наибыстрейшего роста функции в данной точке.
Свойство: производная функция по направлению градиента максимально возможное значение, т.к. градиент – вектор, показывающий направление наибольшего роста функции в каждой точке.
38. Свойство градиента двух переменных.
Вектор градиента перпендикулярен к касательной, проведенной к линии уровня в некоторой точке
39. Экстремумы (теоремы с доказательствами)
Экстремум функции двух переменных – значение функции в точке минимума или максимума.
Точка (x0;y0) – точка минимума, если для любого (х;у) из б-окрестности точки (х0;у0) справедливо: f(x;y) < f(x0;y0).
Теорема необходимое условие для локального экстремума: Если Z=f(x;y), имеет экстремум в точке (x0;y0), и в этой точке существуют частные производные первого порядка, то они равны нулю.
Теорема достаточное условие локального экстремума: Пусть в точке М0 возможного экстремума и некоторой её окрестности функция Z=f(x;y) имеет частные производные второго порядка. Обозначим: Z’’xx=A, Z’’xy=B, Z’’yy=C. Составим матрицу:AB-BC, обозначим det=AC-BB, тогда:
Если det>0, то точка М0 – является точкой локального экстремума, Если det<0. то в точке М0 – экстремума нет, если det=0 – требуются дополнительные исследования. Если D>0, A>0, М0 – точка минимума,Если D>0, A<0, М0 – точка максимума.
40. Условный экстремум.
Условным экстремумом функции Z=f(x;y) называется экстремум этой функции при условии, что х и у связаны уравнением j(х;у)=0 – уравнением связи.
Если одна переменная может быть однозначно выражена через другую, то y=g(x) подставляем в функцию Z, и обычным способом находим экстремум функции одной переменной. Если это не возможно, то в общем случае задача на отыскание условного экстремума состоит в исследовании на обычный экстремум вспомогательной функции u, где u(x;y)=f(x;y)-lj(x;y), где l - неизвестный параметр =const.
Теорема необходимое условие условного экстремума: Чтобы точка М0 была точкой условного экстремума необходимо чтобы в ней выполнялось: f’x =0, f’y =0, j(x;y)=0 (f’l=0), где функция u – функция Лагранжа, l - множитель Лагранжа
Пусть функция определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D. Тогда она достигает в некоторых точках D своего наибольшего М и наименьшего m значений. Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных внутри области D, или в точках, лежащих на границе области.
Правило нахождения: 1.Найти все критические точки функции, принадлежащие D , и вычислить значения функции в них; 2. Найти наиб. и наим. значения функции на границах. 3.Сравнить все найденные значения функции и выбрать.
41. Первообразная и неопределенный интеграл.
Первообразная F(x) для функции f(x) – такая функция, что F’(x)=f(x) (dF(x)=f(x)dx)
Определение: Если функция F(x) – первообразная для f(x) на промежутке (a;b), то множество функций F(x)+C – неопределённый интеграл от f(x).
∫f(x)dx=F(x)+C, где f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, dx – переменная интегрирования. Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом .