- •1. Числовая последовательность ….
- •2. Монотонные…
- •3. Функцией
- •4. Пределы.
- •7. Свойства пределов
- •8. Предельный переход в неравенстве (д-во
- •9. Первый замечательный предел
- •10. Непрерывность
- •11. Точки разрыва
- •12. Вейерштрасс
- •13. Второй замечательный предел.
- •14. Производная функции ….
- •15. Вычисление производных
- •16. Таблица производных (см. Шпору)
- •17. Производная сложной функции
- •18. Производные высших порядков
- •19. Классификация б.М.Ф.
- •20. Дифференциал.
- •21. Дифференцируемость
- •22. Теорема Ферма:
- •23.Теорема Ролля:
- •24. Теорема Лагранжа:
- •25. Правила Лопиталя
- •26. Монотонность
- •27. Экстремумы (Док-во: файл)
- •28. Выпуклость (Док-во: файл)
- •29. Асимптоты
- •30. Формула Тейлора
- •31. Разложение в ряд Тейлора: см. Фотофайл (взять из нета)
- •32. Функции нескольких переменных
- •33. Теорема Вейерштрасса для функций нескольких переменных.
- •34. Частные производные
- •35. Дифференцируемость двух переменных. (Док-во: файл)
- •36. Производная по направлению
- •37. Градиентом функции
- •38. Свойство градиента двух переменных.
- •39. Экстремумы (теоремы с доказательствами)
- •40. Условный экстремум.
- •41. Первообразная и неопределенный интеграл.
- •42. Свойства первообразных и неопределенного интеграла.
- •43. Таблица интегралов (см. Шпору)
- •44. Основные методы вычисления неопределенных интегралов.
- •45. Определенный интеграл и суммы Римана. (Внести формулы в шпору)
- •46. Свойства определенного интеграла.
- •47. Среднее значение.
- •48. Интеграл с верхним пределом
- •49. Формула Ньютона-Лейбница
- •50. Способы вычисления определенного интеграла. (д-во: с. 231-232)
- •51 Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования
- •52 Несобственные интегралы от неограниченных функций
33. Теорема Вейерштрасса для функций нескольких переменных.
Если функция z=f(М) непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она в этой области: а)ограничена, т.е. существует такое число R>0, что для всех точек М в этой области выполнено неравенство |f(М)|<R; б) имеет точки в которых принимает наим. m и наиб. М значения; в)принимает хотя бы в одной точке области любое численное значение, заключенное между m и М.
z=f(x;y) непрерывна в M0(x0;y0), если она определена в точке M0 и некой окрестности D, имеет предел limf(x;y)=f(x0;y0)
Если функция непрерывна на промежутке, то подразумевается, что она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Если f(x) непрерывна на D, То:
-
она на нем достигает макс и мин и ограничена на нем
-
и значения на концах не равны, то принимает все промежуточные значения (Больцано-Коши)
-
f(a) и f(b) разных знаков, то есть точка с, что f(c)=0
Непрерывность функции в интервале и на отрезке
функция y=f(x) называется непрерывной в интервале от a до b (a;b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция y=f(x) называется непрерывной на отрезке [a;b], если она непрерывна в каждой точке интервала (a;b) и в точке х=а непрерывна справа (limf(x) [x->a+0] = f(a), а в точке х=b непрерывна слева (limf(x) [x->b-0] = f(b).
34. Частные производные
Производная z по х в точке х0 – предел отношения частного приращения функции по х к приращению аргумента (при дельта”x” ->0)
z’x = lim f(x+дел”x”;y) – f(x;y)/дел.”x” (дел.”x” ->0)
z’y = lim f(x;y+дел.”у”) – f(x;y)/ дел.”у” (дел.”x” ->0)
Теорема Шварца (без док.): Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.
35. Дифференцируемость двух переменных. (Док-во: файл)
Пусть Z=f(M) определена в некоторой окрестности точки М.
Определение: функция Z=f(M) называется дифференцируемой в точке М (х;у), если её полное приращение может быть представлено в виде: DZ=ADx+BDy+a(Dx;Dy)Dx+b(Dx;Dy)Dy, где А и В – const, a(Dx;Dy)
b(Dx;Dy) - бесконечно малые функции.
Теорема: Если Z=f(M) дифференцируема в точке М(х;у), то она имеет в этой точке частные производные, причем z’x(x;y)=A, z’y(x;y)=B
Главная часть приращения DZ, линейная относительно Dx и Dy, называется полным дифференциалом. df(x;y)=f’x(x;y)dx + f’y(x;y)dy
36. Производная по направлению
Рассмотрим функцию Z=f(M) в точке М(х;у), функция определена в окрестности этой точки. Единичные вектор l={cosa;cosb}, где a и b - углы между вектором и осями. Для характеристики скорости изменения функции в точке М в направлении вектора l вводится понятие производной по направлению.
Предел отношения DZ/Dl при стремлении Dl к нулю называется производной функции Z в точке М по направлению вектора l. lim (Dl->0) DZ/Dl = dZ/dx*cosa + dZ/dx*cosb = f’x(x;y)cosa + f’y(x;y)cosb. (следует, что производная по направлению является линейной комбинацией частных производных).Частные производные по х и у являются частными случаями производной по направлению.
Если l – орт направления, то: dZ/dl = gradf(x;y)*вектор«l»