Неравенства для определенного интеграла Римана и теорема о среднем.

Теорема 1:

Если функции интегрируемы на и

Доказательство:

выполняется неравенство , тогда . Так как интегралы по условию существуют, по теореме о предельном переходе под знаком неравенства, . Теорема доказана.

Следствие:

Если - интегрируема на , то, по доказанному выше, - интегрируем на данном отрезке; тогда

Доказательство:

Известно неравенство: ; по данной теореме

; из самого правого интеграла минус можно вынести; получим:

. Следствие доказано.

Теорема 2: (о среднем)

Пусть интегрируемы на , причем на данном промежутке, тогда

, где ,

и

Замечание: sup и inf существуют, т.к. функция на данном промежутке интегрируема, а значит ограничена.

Доказательство:

Запишем неравенство: и домножим его на :

; тогда по теореме о неравенствах это неравенство сохранится и в интегралах:

()

Если , то и интеграл и неравенство () выполняется.

Если , тогда по теореме о неравенствах , значит можно неравенство () на него разделить:

и принимаем за . Теорема доказана.

Следствие:

Если непрерывна на и выполняется условие теоремы, то

Доказательство:

Т.к. непрерывна на , то она достигает своего max и min значения, а в силу непрерывности sup=max, inf=min; значит - по теореме о промежуточных значениях непрерывной функции. Следствие доказано.

Следствие к следствию:

Если непрерывна на , то

Доказательство:

Возьмем , тогда (по следствию) . Следствие доказано.

Геометрический смысл этого следствия:

Если считать площадь криволинейной трапеции, то найдется такая точка , что площадь этой криволинейной трапеции будет равна площади прямоугольника с высотой .

Билет 47

Интеграл как функция верхнего предела. Непрерывность и дифференцируемость. Теорема Ньютона-Лейбница.

Рассмотрим функцию , интегрируемую на отрезке . По аддитивному свойству интеграла:

, можно найти отрезок на котором представляется возможным рассмотреть функцию .

Теорема:

Если функция интегрируема на отрезке , то непрерывна на отрезке .

Доказательство:

Рассмотрим функцию ,

, где , , , где

Теорема доказана.

Теорема:

Пусть функция интегрируема на отрезке , непрерывна в точке , тогда функция дифференцируема в точке и .

Доказательство:

,

, , т.е.

.

Теорема доказана.

Следствие:

Если функция непрерывна на отрезке , то , т.е. - первообразная .

,

Функция непрерывна в точке , ; , где непрерывна на отрезке . Заключаем, что .

Т.е. любая непрерывная функция имеет первообразную.

Теорема доказана.

Формула Ньютона-Лейбница:

Функция непрерывна на отрезке , тогда она имеет первообразную. Пусть - её произвольная первообразная. Тогда .

Доказательство:

Функция непрерывна на отрезке , - первообразная функции ,

, ,

. Теорема доказана.

Билет 48 Определение площади. Площадь криволинейной трапеции. Площадь в полярных координатах.

Определение: Пусть множество и A – ограничено. Рассмотрим множество (объединение прямоугольников), такое что , и множество , такое что , и назовем и фигурами. Площади этих фигур и можно посчитать. Т.к. множество оганичено сверху (S(A)). Аналогично ограничено снизу (нулем) . Если , то это площадь A, а множество называется квадрируемым.

Пример1: Пусть τ – отрезок и . Ø. При этом S(M΄)=0 и . Пусть длина отрезка равна d, тогда , а длины d и высоты h. Тогда . Получили S(τ)=0.

Пример2: . , Ø и , т.к. никакой прямоугольник полностью не лежит в этом множестве. , т.е. , поэтому . Получаем, что , поэтому множество A - не квадрируемое.

Пусть f(x)≥0 на [a,b]. Криволинейная трапеция T - множество (x,y), такое что a≤x≤b и 0≤y≤f(x).

Теорема: (О площади криволинейной трапеции).

Пусть функция f(x)≥0 на [a,b]. Криволинейная трапеция T квадрируема тогда и только тогда(), когда функция f(x) интегрируема на [a,b]. При этом площадь T равна: .

Доказательство: : По основной теореме . Найдутся такие и , что и . Тогда .

: , так как криволинейная трапеция T квадрируема. Тогда Обе интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу (S). , . Следовательно , поэтому функция f(x) интегрируема (из следствия основной теоремы).

Пример. x²+y²=R². a≤x≤b (a=-R, b=R), и 0≤y≤. При этом

Замечание к определению площади: Множества можно заменить на любые другие квадрируемые множества. Если - фигуры, - квадрируемые множества, т.е. существуют площади и при этом , то при получим все то же самое.

Пусть множество задано в полярных координатах: x=r·cost, y=r·sint. Рассмотрим множество A, такое, что α≤t≤β и 0≤r≤r(t). Введем разбиение угла [α,β]: α=t₀<t₁<t₂<…<t_n=β. При этом Δt_i=[t_i ,t_i+1]. Рассмотрим сектора окружностей r_i=m_i – это будут сектора и r_i=M_i – это будут сектора . и . Окружности (с углом 2π) соответствует площадь πR², а сектору с углом α – площадь αR²/2. Поэтому и . и - нижняя и верхняя суммы Дарбý для функции f=r²/2. Получим и . То есть площадь S(A) существует и равна S (т.е. A квадрируема) тогда и только тогда, когда существует интеграл

Билет 49