- •Производная. Определение, непрерывность функции, имеющей производную.
- •Геометрический смысл производной.
- •Арифметические свойства производной.
- •Производная обратной функции.
- •Производная сложной функции.
- •Производные элементарных функций.
- •Билет 7 Дифференциал функции. Определение. Геометрический смысл.
- •Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
- •Теорема 1: Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно , чтобы она имела конечную производную в этой точке.
- •Производные высших порядков. Формула Лейбница.
- •Дифференциалы высших порядков. Инвариантность формы первого дифференциала. Неинвариантность формы дифференциалов второго и высших порядков.
- •Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма.
- •Теорема Ролля.
- •Теорема Коши. Физический смысл.
- •Теорема о среднем Лагранжа.
- •Достаточное условие невозрастания (неубывания) функции на отрезке. Условие постоянства функции на отрезке.
- •Достаточные условия экстремума.
- •Формула Тейлора для многочленов.
- •Формула Тейлора для дифференцируемых функций.
- •Формула Тейлора для важнейших элементарных функций.
- •Билет 20 Выпуклость функции в точке. Достаточное условие.
- •Теорема 1 (Достаточное условие существования точки перегиба).
- •Непрерывна в и . Тогда, если - нечетное число, то кривая обращена выпуклостью вверх или вниз в зависимости от того, будет ли или, а если четное, то есть точка перегиба кривой.
- •Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие.
- •Правило Лопиталя. Случай 0/0.
- •Правило Лопиталя. Случай .
- •Раскрытие неопределенностей вида , ,,, .
- •Асимптота. Уравнение наклонной асимптоты.
- •Первообрáзная. Неопределенный интеграл. Свойства.
- •Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •Интегрирование по частям неопределенного интеграла.
- •Интегрирование простейших рациональных дробей
- •Интегрирование рациональных дробей.
- •Интегрирование выражений вида.
- •Первая подстановка Эйлера (Леонарда)
- •Интегрирование тригонометрических выражений.
- •Тригонометрические подстановки.
- •Определенный интеграл Римана. Эквивалентные определения. Условие Коши.
- •Ограниченность интегрируемой функции.
- •Суммы Дарбу. Их Свойства.
- •Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману.
- •Билет 41 Основная теорема о существовании определенного интеграла Римана.
- •Равномерная непрерывность функции. Модуль непрерывности.
- •Теорема 2 Функция непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем ().
- •Интегрируемость по Риману непрерывной функции.
- •Интегрируемость по Риману монотонной функции.
- •Аддитивное и однородные свойства определенного интеграла Римана.
- •Неравенства для определенного интеграла Римана и теорема о среднем.
- •Интеграл как функция верхнего предела. Непрерывность и дифференцируемость. Теорема Ньютона-Лейбница.
- •Билет 48 Определение площади. Площадь криволинейной трапеции. Площадь в полярных координатах.
- •Определение объёма. Объем тела вращения.
- •Длина дуги кривой. Определение и вычисление.
Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие.
Определение: По определению кривая называется выпуклой вниз (вверх) на отрезке [a,b], если любая дуга этой кривой с концами в точках () расположена не ниже (не выше) стягивающей ее хорды.
Определение: Множество называется выпуклым, если для любых двух точек этого множества, отрезок, соединяющий их лежит также в этом множестве.
Выпуклость вверх Выпуклое множество
Выпуклость вниз Невыпуклое множество
Теорема 1 (необходимое и достаточное условие выпуклости на отрезке)
Пусть функция непрерывна на [a,b] и имеет вторую производную на (a,b). Для того чтобы кривая была выпуклой кверху (книзу) на [а,b], необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство () для всех .
Доказательство:
Пусть наша кривая выпукла кверху на [a,b]. Тогда для любых х и h >0 таких, что х, х+2h[a,b], имеет место неравенство , откуда .
Если теперь и - произвольные точки интервала (a,b), то, положив h = ( - )/n, будем иметь
.
Таким образом, (, и, переходя к пределу при , получим неравенство , показывающее, что производная на интервале (a,b) не возрастает. Но тогда на (a,b).
Обратно, пусть и . Нам нужно доказать, что функция , где , удовлетворяет неравенству . Допустим, что это не так. Тогда . Поэтому .
Применяя формулу Тейлора, получим
0=. Но в правой части этой цепочки равенств первый член по предположению отрицательный, а второй неположительный, поэтому правая часть меньше нуля, и мы пришли к противоречию.
Доказательство в случае аналогично.
Теорема доказана.
Билет 23
Правило Лопиталя. Случай 0/0.
Теорема 1: (Неопределенность вида 0/0)
Пусть f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки а,
в этой окрестности и в той же окрестности, тогда, если , то
Доказательство:
1) a – конечное.
Доопределим функции: f(a)=0 и g(а) = 0; f(x) и g(x) непрерывны на [a;x]
при
f(a)=g(a)=0 =>
2)
Пусть
Введем функции и
Теорема доказана.
Замечание: обратное неверно.
Пример:
Билет 24
Правило Лопиталя. Случай .
Теорема:
Пусть функции f и g определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки a ии в некоторой выколотой окрестности точки a, тогда, если
, то и
Доказательство:
Возьмем произвольную последовательность , , , тогда по определению предела по Гейне
и
Тогда - для f(x) определение предела вида |f(x)|>C, где C =
- аналогично для g(x)
Тогда можно найти такой номер, для которого будут выполняться оба неравенства:
,
Используя термины можно записать:
, Пояснение: , а т.к.
Найдем теперь предел отношения к :
[ можно добавить или отнять , предел от этого не изменится ]
[ воспользуемся теоремой Коши: или - смотря, что больше]
- по определению предела по Гейне.
Мы получили еще не совсем теорему о сходимости последовательности через подпоследовательности, ( ее формулировка: если такова, что из любой её подпоследовательности можно извлечь в свою очередь подпоследовательность , сходящуюся к конечному или бесконечному А, то предел =А) мы пока что только из самой последовательности выделили сходящуюся подпоследовательность, а это еще не значит, что сама последовательность сходится.
Теперь возьмем произвольную последовательность и её произвольную подпоследовательность , тогда по только что доказанному из подпоследовательности мы можем выделить подпоследовательность , сходящуюся к , т. е.
Теперь мы взяли произвольную последовательность, поэтому
Причем важно, чтобы предел отношения производных существовал. Теорема доказана.
Билет 25