Метод узловых потенциалов.

МУП основан на сокращении полной системы Кирхгоффа до числа уравнений по ПЗК, то есть вместо n x n матрицы [K] (полной матрицы Кирхгоффа) получим (q – 1) x (q – 1) матрицу узловых проводимостей.

(q – 1) = ПЗК

Такое сокращение можно провести шагами метода Гаусса в матричной форме, проще сразу организовать матрицу узловых проводимостей [G], воспользуясь мнемоническим правилом, называемым методом узловых потенциалов.

Матрица [G] следует из записи

Матрица [G] узловых проводимостей состоит из главной диагонали, на которой находятся арифметические суммы проводимостей ветвей, сходящихся в i-ом узле;

Вне диагональные элементы , образованные величинами проводимостей ветвей, содержащих i и j узел цепи.

Эти взаимные или общие проводимости всегда берутся со знаком «–». Правую часть СЛАУ МУП образуют суммы токов источников тока в ветвях, подходящих к соответствующему узлу. При этом токи источников, подходящих к узлу берём со знаком «+», а отходящих – со знаком «–», в данном случае обязательно!!!

Размерности строк СЛАУ МУП одинаковы – амперы. В этой связи матрица [G] обязательно симметрична, что упрощает расчёты.

Если ветвь содержит РИН, то его необходимо преобразовать в РИТ. Решением СЛАУ МУП являются потенциалы (q – 1) узлов.

Матрица [G] обязательно неособенная.

Решение СЛАУ МУП требует дальнейшей обработки для получения физических токов – в скрытой форме используется ВЗК

ПЗК = МУП = q – 1

В связи с числом уравнений, равным (q – 1), необходимо один из узлов считать узлом с заданным потенциалом – лучше с 0.

СЛАУ МУП основные задачи анализа цепи не решает – токи находим дополнительной операцией.

Расчёт физических токов с помощью потенциалов.

Токи после расчёта потенциалов , определённых с помощью ВЗК. Правило прохода «от узла к узлу»:

Особенности цепей по отношению к муп.

Основной особенностью является наличие в цепи пар узлов, между которыми включён ИИН

q = 2, МУП = 1, _a = E1 (*)

СЛАУ МУП – вырожденная форма

Очевидно, в сложных схемах паре узлов содержащей ИИН соответствует тривиальная строка вида (*) _a = E1, имеющая размерность В. Однородный базис в этом случае утрачен, матрица МУП несимметрична.

Основные свойства цепей.

Принцип наложения (суперпозиции):

В данной цепи, любой ток состоит из токов, вызываемых каждым источником в отдельности. Общий ток любой ветви, есть алгебраическая сумма от каждого источника в отдельности.

Принцип линейности:

Все напряжения в цепи линейно зависят от токов и в скалярном смысле и в матрично-векторном.

[

Из принципа линейности вытекают ПН, МЭГ и т.п.

Принцип взаимности:

ПВ отражает симметрию матрицы однородного базиса- матрицу контурных сопротивлений и узловых проводимостей.

При действии в i-ой ветви эдс E_i вызывает ток в j-ой ветви равный I_j. Если эдс E_i перенести в j-ю ветвь, то в i-ой ветви будет вызван ток равный I_j , при нахождении этой эдс в i-ой ветви

Метод эквивалентного генератора:

Относительно любой ветви сложной цепи, вся эта цепь может быть заменена источником РИН с внутренним сопротивлением равным входному сопротивлению цепи со стороны этой ветви и эдс E_экв равному, по величине напряжения, холостого хода на зажимах данной ветви.

МЭГ применяется исключительно широко, позволяя рассчитывать в сложных цепях только те токи, что нас интересуют.

Убрать источник понимается, как замена участка с источником на его внутреннее сопротивление.

Пример:

Топологические свойства цепей.

Схема цепи без указания элементов в ветвях называется графом.

Направление токов, считается направлением рёбер в соответствующем графе. Неустранимые узлы соответствуют вершинам.

Поскольку нумерация узлов, рёбер, а так же выбор направления рёбер, могут быть любыми. Любая часть полного графа цепи называется подграфом.

Оптимальная нумерация предполагает присваивать первые номера рёбрам дерева. Оставшиеся номера до n=6 присваивать хордам 1,2,3,4,5,6. Хордой называется ребро вводящее в дереве контур.

Цепи синусоидального тока.

Все электроэнергетические сети средней и большой мощности являются цепями синусоидальных токов.

Замечание:

В теории цепи строго определены шрифты для обозначения разных физических величин. Физический смысл разных обозначений может принципиально различаться, несмотря на идентичность букв разных шрифтов. Следует строго в соответствие со смыслом употреблять разные шрифты.

(t)- мгновенное значение тока. -среднее квадратное значение тока за период. -амплитуда. -комплекс действующего значения. m- комплекс амплитуды. -мгновенное значение мощности.

-мгновенное значение направления.

-эдс

-амплитуда.

Рассматриваем сначала однофазные цепи синусоидального тока.

Сумма 2-х синусоид разных начальных фаз и разных амплитуд и разной частоты есть синусоида той же самой частоты. При этом суммарная синусоида может быть получена как проекция вращающаяся со скоростью вектора полученного как векторы сумма векторов отвечающего синусоиды- слагаемое. Т.О. целесообразно оперировать не с синусоидальными функциями на временных графиках, а соответствующими синусоидам векторами. То есть представленная временная диаграмма эквивалентна векторному представлению в линейном пространстве. ( на пл.)

Линейное пространство это пространство в котором важны углы.

Поскольку при одной общей частоте важны не сами проекции, а лишь векторы, а их взаиморасположение , то весь расчет с участием нескольких синусоид проводят как бы на неподвижной плоскасти, оперируя векторами , постоянными во времени и записанными в удобной форме.

Наиболее удобной и компактной мат. операцией является запись вектора на пл. в комплексной форме.- в виде постоянных комплексных чисел = амплитуде синусоида, а аргумент начальной фазе.

Для возврата мгновенным значениям токов используется функция перехода, смыслом которой является взятие одной из проекции ( мнимой или реальной )

Комплексные числа при деление подобно показ. в показ. форме при сложение в алгебре при вычислении проекций в тригонометрии.