Свойства элементов и законы Кирхгофа в цепях синусоидальных токов.

Напряжение на резисторе совпадает по фазе с током через него, напряжение на индуктивности опережает по фазе ток через нее на , напряжение на емкости отстает от тока через нее.

При расчете любой бытовой цепи синусоидального тока следовало бы решение системы дифференциальные уравнения. Ограничившись видом решения в виде синусоидального тока мы получаем возможность воспользоваться вместо дифференциального оператора, алгоритмом операционного умножения на комплексное число.

Т.О. получается векторное представление уравнения по ВЗК для простейшей одноконтактной R,L,C цепи.

Совершенно очевидна принципиальная разница

Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока помимо мгновенного значения выполнимы и для векторных представлений токов и напряжений.

Все элементы последовательной цепи могут быть описаны одним множеством.

(++) принято называть законом Ома в комплексной форме.

Параметр

Z-полное комплексное сопротивление цепи

z-модуль полного комплексного сопротивления

φ-фаза цепи

Сказанное на практике приводит к трудностям диагностики цепей по показаниям приборов, принципиальным действительным значениям величин.

Суммирование действительных значений, даваемых измерением приборами в цепях синусоидального тока недопустимо.

ПЗК и ВЗК выполняется только в векторной форме!!!

Поскольку справедлив и закон Ома в комплексной форме, то можно подсчитать Z_эквив данной цепи.

R данной цепи бесконечно велико, значит в ней нет тока.

Векторная форма ПЗК и ВЗК может совпадать с арифметической в эпизодических случаях строго однородных по фазовому сдвигу наборах элементов цепи.

Все периодические процессы в ЦСТ связаны с соответствиями энергетическими показателями. Техническая часть этих показателей обретает набор мощностей в ЦСТ, в котором существует несколько разновидностей.

Расчёт цепей синусоидального тока.

Поскольку существует возможность в алгебраической форме записать уравнения Кирхгофа, тогда возникает возможность воспользоваться в линейных цепях всеми теми методами расчёта, которые разработаны для цепей постоянного тока. При этом сопротивление резисторов в цепях постоянного тока необходимо заменить на полные комплексные сопротивления ветвей или участков, а токи и напряжения заменить на комплексы токов и напряжений в ЦСТ.

Топологические правила остаются теми же, поскольку общая форма уравнений не меняется.

Модули действительных значений есть показания приборов поэтому расчёт в действительных значениях наиболее распространён.

Получив решения, переходим к мгновенным значениям токов, если этого требуют условия задачи.

Из-за того, что постоянные комплексные числа “изображают” синусоиды, весь комплексный метод часто называют символическим.

Полученный в результате комплекс мгновенного значения имеет проекции, соответствующим синусоидальным величинам в цепи.

Далее используем только мнимую проекцию для организации мгновенных значений токов.

Мгновенные значения синусоидальных величин в реальных цепях техников не интересуют. Действием комплексного метода является то, что он даёт как результат расчёта легко измеряемые на практике действительные значения как модулем комплексных чисел.

Поскольку, как мы видели выше, легко возникает система Кирхгофа для любой цепи, постольку справедливы все методы, являются сокращениями систем Кирхгофа- МКТ, МУП, МЭГ.

Комплекс мгновенного значения:

Векторные диаграммы в цепях синусоидального тока.

Поскольку все операции в ЦСТ вызваны применением ПЗК и ВЗК выполняющиеся в векторной форме, то неприменимым инженерным атрибутом расчёта цепи является графическое представление операций по ПЗК и ВЗК в виде качественных точных количественных векторных диаграмм.

Векторные диаграммы для ЦСТ строится одной из следующих тактик.

1. КВД (качественная векторная диаграмма)- строится без предварительного расчёта цепи и лишь на анализе соблюдения ПЗК-ВЗК и свойств элементов.

2. Точная векторная диаграмма (ТВД) может быть построена после точного расчёта цепи в форме графического перечисления всех, интересующих разработчика векторов

3. Топологическая диаграмма цепи в форме графического перечисления комплексов потенциалов узлов цепи на комплексной плоскости.

Строится после точного расчёта цепи. При этом линиями (без стрелок!) соединяются на диаграмме те точки, между которыми в цепи существует физическое соединение. Получившаяся т.о. структура изоморфна графу цепи, т.е. соединяет столько же ветвей и узлов.

КВД .

КВД принято строить для цепи с одним поданным в неё внешним напряжением (входным напряжением). КВД строится без расчёта и иллюстрирует порядок суммирования векторов по ПЗК и ВЗК и векторное свойство элементов КВД цепи.

Практическое правило:

КВД удобно начинать строить с заданием вектора тока в наиболее удалённой от входного напряжения ветви цепи.

Пример КВД:

При наличии альтернативы, лучше начинать с I2.

Исключительно большую роль в электроэнергетики играет понятие угла цепи.

Φ_цепи- угол между входным током и входным напряжением цепи.

Условно углы считаются положительными, если ток отстаёт от напряжения. И отрицательным, в противном случае.

В цепи угол цепи может находиться в диапазоне -π/2≤φ ≤π/2

Очевидно φ _цепи=+ π/2 для чисто индуктивной цепи и φ _цепи=-π/2 для чисто ёмкостной цепи.

Наиболее благоприятные энергетические процессы в цепи, имеющие угол φ=0 (см. ниже)

Сама КВД позволяет оптимизировать цепь с целью получения φ_цепи близкого к 0.

Характеристика цепи является cos φ и КВД позволяет оптимизировать cos φ.

При наличии нескольких источников или многих составных ветвей КВД построить невозможно без предварительного расчёта или конкретных цифровых допущений.

ТВД.

ТВД строится по правилу КВД но после точного числового расчёта в цепи. Выполнение векторных операций в графической форме подстраховывает численные результаты от возможной ошибки.

Топографическая и потенциальная векторная диаграмма.

ТПВД есть список точек на комплексной плоскости, координаты которых есть потенциалы устранённых и не устранённых узлов цепи. При этом линиями соединяются только те узлы, в которых в фактической схеме соответствуют реальные соединения.

Логика расположения потенциалов соответствует правилу Ů_ab= φ _a- φ _b в комплексной форме.

На ТПВД непринято рисовать стрелки векторов для напряжений, т.к. ТПВД носит универсальный характер и должна отвечать на вопрос о любых напряжениях.

ТВД, построенная по точному расчёту, позволяет с помощью масштаба по потенциалам оценить величины, складывающиеся в цепи напряжений. Это важно для Б.Ж.Д. работников цеха, мастерской.

Обратить внимание!

По правилам векторной алгебры, вектор Ů_ab= φ _a- φ _b направлен из т b к a на потенциальной диаграмме, а положительное направление напряжения Ů_ab на схеме является направление от a к b.

ТД легко проконтролировать с помощью токов, векторы которых обычно представлены на этой же плоскости. Очевидно между точек цепи, ограничивающие резистор, разница потенциалов должна совпадать по направлению с током.

Энергетические свойства цепей синусоидального тока.

Электротехника изучает способы распределения энергии наиболее компактным образом из заложенных в природе. Все электроэнергетические сети имеют в качестве центральных показателей мощностные, которых в ЦСТ четыре:

P(t)=u(t)i(t)-мгновенная мощность.

S=ui-полная мощность s.

P- активная мощность.

Q- реактивная мощность.

Использование каждого из этих показателей обусловлено требуемыми задачами анализа эффективности энергопередачи. Хотя строго метрологически все показатели имеют одну и ту же размерность, для пользы эффективности оценок им приписывают разные условные единицы. Эти единицы нельзя путать.

Эти характеристики можно выследить анализируя графики мгновенных мощностей p(t) для обобщённого приёмника энергии.

Постоянное составляющее графика p(t) есть мощность, перетекающая от генератора в нагрузку, необратима, т.е. именно она в нагрузке превращается в полезную работу- в тепло, в мощность вращения.

Переменная составляющая с амплитудой A=S=Ui связана с кажущейся мощностью электроприбора. Переменная составляющая соответствует отбираемой от генератора энергией при положительном её значении и возвращаемой энергии при отрицательной.

Факт возврата энергии из приёмника к генератору энергетически вреден. И соответствует способности цепи накапливать энергию, возвращаемая её генератору при отрицательных p(t). В целом показания Ui легко можно получить измерениями приборов, как произвольного показания амперметра на показания вольтметра.

Бытовой электросчётчик является незаторможенным ватт метром, т.е. прибором реагирующим только на необратимую мощность обслуживания потребителя.

Обратить внимание!

P(t) имеет удвоенную частоту, по сравнению с частотой подданного напряжения.

Угол φ=0 на входе цепи является желательным для любой сколь угодно сложной нагрузки. Часто в этой нагрузке невозможно устранить реактивный элемент и основным приёмом оптимизации φ является компенсация реактивной нагрузки одного рода реактивной нагрузкой другого рода. На производстве чаще всего нагрузка содержит множество индуктивностей – дуговые печи, двигатели станков, дроссели осветительных приборов и т.п. В этой связи компенсация проводится подсоединением дополнительных ёмкостных элементов, либо параллельно, либо последовательно.

Случай полной компенсации при наличии в цепи множества реактивных элементов называется резонансом.

Расчёт мощностей в комплексной форме.

Для расчёта мощностей в комплексной форме используются искусственный приём.

Реактивная мощность характеризуется мнимой частью полной комплексной области.

Измерение мощности.

Очевидно, если в цепи отсутствует R, то W=0.

Обратить внимание!

В пассивной цепи знак P при ассоциированных токов и напряжениях знак P положительный, а знак Q определён видом реактивного элемента- реактивная мощность ёмкости условно считается отрицательной(φ<0), а реактивная мощность катушки условно считается положительной.

Очевидно, при полной компенсации суммарные ёмкостные мощности цепи равны суммарным индуктивным мощностям.

Взаимная индуктивность.

Индуктивно связанными катушками считаются такие, между которыми существует связь через магнитный поток. В любом случае через магнитное поле может передаваться до 100% всей мощности потребляемой цепи.

_СОБС

_ВЗАИМ

Собственная индуктивность, как величина, характеризует производимость данной катушки в деле создания потокосцепления от тока в 1А.

Часть тока может достигать соседней катушки.

Величина M21 характеризует производительность системы из 2-х катушек, создавая потокосцепление во 2-ой катушки на единицу тока в первой.

Поскольку мы рассматриваем линейные системы, то справедлив принцип взаимности, из-за чего М12=М21

Такое положение действительно имеет место в нелинейной системе, где принципиальное взаимодействие не выполняется.

В дальнейшем полагают, что все сердечники и среды для магнитного поля линейны.

При расчёте цепей решающим является знак, вызывающий взаимную индуктивность напряжения. Он определяется по отношению к принятому обходу и связан со взаимным расположением одноимённых зажимов 2-х связанных катушек.

Одноимёнными зажимами 2-х катушек считают такие, вход положительных токов в которые вызывает совпадение по направлению собственные и взаимные потоки. Например отдельные ветки одной катушки связанны друг с другом через магнитное поле и при этом взаимные потоки этих витков друг друга усиливают и складываются с собственными потоками- такое соединение называется согласным. Противоположное соединение называется несогласным – оно может радикально уменьшить общую индуктивность, вплоть до полной её нитролизации(бифилярная намотка).

Очевидно создаваемое током напряжение по направлению однозначно определено расположением одноимённых зажимов, если ток входит в начало катушки №1, то в соседней катушки он вызовет напряжение, начинающееся так же у начала катушки т.е. действует правило:

Учёт возникающего от магнитной связи напряжения совершенно идентичен учёту любых других напряжений и производится в связи с изображением направления обхода в составной системе уравнений.

НО1:

НО2:

НО3:

Т.о. учёт взаимной индуктивности не влияет на общее число уравнений, на оценку топологии цепи (контур, дерево, хорды). И может быть использован в модификации систем Кирхгофа на МКТ, МЭК и др. способах сокращения системы Кирхгофа для токов.

Однако, метод узловых потенциалов имеет в качестве неизвестных потенциалы, а в качестве элементов матрицы проводимости ветвей. Поэтому МУП нельзя использовать в цепях со взаимной индуктивностью, поскольку проводимости ветвей не способны учесть энерго приток через магнитное поле.

Цепь со взаимной индуктивностью можно рассчитать МУП только после её преобразования к цепи без индуктивных связей и эквивалентно исходной.

Эквивалентная замена цепей с индуктивной связью

цепями без связи.

Такая замена называется развязкой индуктивных связей и возможна всегда при её выполнение реально для каждой пары катушек.

Развязка производиться с помощью подстановки токов из ПЗК уравнений в уравнения ВЗК с целью “избавиться от чужого тока”.

Основу развязки составляет решения для такой пары катушек.

После такой замены каждой из пар катушек в сложной схеме вся цепь может быть рассчитана и МУП.

Простейшие соединения связанных катушек.

В случае развязки катушек, подсоединённых к узлу одноимёнными зажимами, знаки перед М изменяются на противоположные.

Простейшее соединение позволяет опытным путём установить величину М.

Аналогично используются опыты параллельного соединения индуктивно связанных катушек.

Линейный трансформатор.

Один из важнейших направлений использования является построение трансформаторов для преобразования величин напряжений. Если трансформатор не содержит ферро магнитных сердечников или эксплуатируется на их линейном участке, то его можно описать конкретными параметрами, и он является линейным.

Всякая индуктивная связь может быть охарактеризована её качеством с помощью коэффициента связи, характеризующего степень проникновения собственного потока в соседнюю катушку.

Идеальная индуктивная связь , при которой весь собственный поток катушки полностью попадает в состояние катушки характеризуется k_св=1. Реально он недостижим, т.к. собственный поток всякой катушки содержит ещё и поток внутри провода катушки.

Система уравнений для трансформатора состоит из 2-х уравнений n=2(оба ВЗК).

По этим уравнениям можем построить КВД.

Понятия согласного и встречного соединения корректно лишь для тех цепей, назначения в которых одного тока однозначно определяет назначение другого тока - это преимущественно параллельное и последовательное соединение.

Несмотря на то, что первичная и вторичная обмотки гальванически не соединены друг с другом, линейному трансформатору можно поставить в соответствие эквивалентную цепь без индуктивной связи . Это возможно только после введения искусственной гальванической связи.

Схема преобразования по тактике развязки:

В случае повышенного трансформатора, повышение напряжения в цепи без индуктивной связи осуществляется на основе резонанса напряжений.

Передача ёмкости через индуктивную связь.

Через линейный трансформатор, как и через любую другую пару индуктивно связанных катушек передаётся мощность.

Обратить внимание!

Сама катушка L1 является чисто реактивным элементом, потребляющим в данном случае активную мощность, выделяющуюся во 2-ом контуре. Это и есть передаваемая активная мощность из 1-ого контура во 2-ой. В состав передаваемой полной мощности войдёт и реактивная мощность, потребляемая катушкой L2. Эта мощность добавиться к реактивной мощности, потребляемой 1-ой катушкой.

Расчёт показаний ваттметра в комплексной форме.

Ваттметр прибор, осуществляющий аналоговое перемножение по формуле

W=UІcosφ

,где U и І действительные значения тока в токовой обмотки и обмотки напряжения, а угол φ отсчитывается от вектора тока к вектору напряжения, на который подключён ваттметр

Это правило соответствует формуле:

Обратить внимание!

Показания ваттметра могут оказаться отрицательными.

Физический смысл показаний выяснить можно только дополнительным анализом. И он далеко не всегда есть активная мощность.

Ваттметр можно подключить таким образом, что он будет показывать не активную, а реактивную мощность. При традиционном подключении он показывает активную мощность справа от ваттметра.

Обратить внимание!

При смене способа подключения одной из обмоток ваттметра его показания изменяться.

Резонансы в ЦСТ.

В электротехнике принять фазовое определение резонанса:

Резонансом в сложной цепи, содержащей реактивные элементы, называется режим, при котором общий ток цепи совпадает по фазе с общим входным напряжением. Очевидно определение резонанса вводиться только для пассивной цепи, содержащей разнородные реактивные элементы. Условно совпадение тока и напряжения на входе резистивной цепи не квалифицируется как резонанс. Все резонансные явления в резонансных цепях могут быть рассчитаны общими методами расчёта линейных цепей и являются лишь частным режимом, имеющим большие особенности.

Кратность превышения напряжения на реактивных элементах над величиной U_вх принято называть добротностью резонансных цепей.

В общем случае резонансных частот может быть много. Их число определяется количеством реактивных элементов. Метод нахождения резонансных частот и резонансных параметров прост – необходимо записать общее комплексное сопротивление цепи и выделить в явной форме мнимую часть. Условие, при котором мнимая часть обращается в 0 и есть резонансным уравнением.

Традиционно, резонансы, удовлетворяющие условию Im[Y]=0, называют резонансами токов, а резонансы Im[]=0- резонансом напряжения!

Общие исследования резонанса на основе Im[]=0 или Im[Y]=0 позволяют выявить параметры цепи, влияющие на резонанс, если параметр входит в мнимую часть, то он влияет на частоту резонанса, если он не входит в мнимую часть, то на результирующую частоту не влияет.

В радио и теле технике применяются такие резонансные цепочки, в которых изменение сопротивления приводит к изменению резонансной частоты.

Удобство резистивного регулирования резонансной частоты состоит в возможности замены резистора полупроводниковым переходом p-n-p, n-p-n.

Несмотря на особенности поведения цепи при резонансе, расчёт резонансных явлений не имеет отличий от общего расчёта цепей синусоидального тока.

Частотные характеристики простейших резонансных цепей.

Частотными характеристиками называются любые зависимости физически значимых параметров цепи, от частоты подданного на цепь сигнала. Модуль общего сопротивления в зависимости от частоты: АЧХ - амплитудная частотная характеристика.

Чем больше Q , тем острее выражен максимум тока, тем ближе максимумы напряжений U_L и U_C, тем уже полоса пропускания.

Полосой пропускания условно считается диапазон частот, на границах которого ток падает в раз от резонансного. Активная мощность в контуре падает в 2 раза и условно контур частоты вне этой полосы подавляет.

Обращение реактивной части общего сопротивления цепи принято называть частотным нулём цепи.

Простейшая цепь с резонансом токов.

При резонансе тока через два элемента L и C в сумме не будет.

Вследствие компенсации проводимостей L и C токи равны нулю, но они в противофазе и обеспечивают колебательный энерго- обмен между L и C, который может продолжаться бесконечно долг, даже в отсутствии внешнего напряжения.

Рассматриваемая параллельная цепь дуальна по отношению к последовательной цепи – графики напряжений там соответствуют графикам токов здесь и наоборот.

Свойства чисто-реактивных двухполюсников.

Нетрудно видеть, что резонансные свойства цепей полностью зависят от числа реактивных элементов и топологии их соединения. При высоких добротностях, резисторы цепей играют малую роль и часто для описания частотных свойств реальной цепи вполне достаточно рассматривать лишь её реактивную часть. Эту реактивную часть и называют чисто-реактивным двухполюсником (ЧРД).

Из-за простоты свойств, двух реактивных элементов L и C часто достаточно графически качественного анализа ЧРД, соответствующего некоторой реальной цепи, соединяющей резисторы с незначительной ролью.

Основные свойства L и C, отражённые графически:

Поскольку b исчисляется как , то реактивная проводимость ёмкости считается отрицательной.

Нуль реактивного сопротивления соответствует резонансу напряжения.

Поскольку полюс проводимости порождён нулём сопротивления, то он соответствует резонансу напряжения. А нуль проводимости резонансу токов.

Свойства ЧРД:

1.,

2. Вследствие 1 в любой цепи, резонансы токов и напряжений чередуются на частотной шкале.

3. Если случаи при ω=0 и ω, то общее число резонансов равно числу реактивных элементов без одного.

Анализ ЧРД и состоит в построении результирующей частотной характеристики, либо проводимости, либо реактивного сопротивления.

С помощью компьютера частотные характеристики реальной цепи могут быть получены, если верно учтён шаг исследуемой частотной функции по частоте.

Частотные характеристики реально сложных цепей, топология которых не может быть сведена к параллельным и последовательным соединениям, исследуемых численным способом, и общее правило по определению числа результатов для них несколько сложнее.

Некоторые особенности:

1. Если в цепи возникает индуктивный узел (все ветви, подходящие к узлу содержат индуктивности), то из общего числа реактивных элементов нужно вычесть число индуктивных узлов.

2. Если в цепи возникают контуры, целиком состоящие из С, то из общего числа реактивных элементов необходимо вычесть и их число.

Эти два правила связанны со взаимозависимостью независимых начальных условий для свободного колебательного процесса в цепи, в котором и обусловлен вообще всякий резонанс.

В реальной цепи поиск резонанса вырождается в решение алгебраического полинома, возникающего на основе равенств.

Im[(ω)]=0

Im[Y(ω)]=0

Очевидно в любом случае, что число корней такого полинома и есть число резонансов , возможность выяснить которые и помогает теория ЧРД.

Трёхфазные электрические цепи.

Все более или менее мощные энергосети, во всём мире, являются трёхфазными. Например: генераторы всех автомобилей обязательно трёхфазные.

n- фазной называется цепь, содержащая N- синусоидных единиц, каждая со своими начальными фазами.

Любая n- фазная цепь может быть рассчитана, как произвольная синусоидальная цепь с применением всех дополнительных методов расчёта.

Целью введения многофазных цепей является оптимизация энергетических и мощностных характеристик цепи. И с этой позиции особым преимуществом обладают симметричные трёхфазные цепи, расчёт которых также возможен обычными методами, но может быть проведён упрощёнными методами.

Если рассматривать однофазный генератор, то его мощностные характеристики неудачны.

Колебания мощности p(t) ухудшает все энергетические характеристики, делая поток мощности от генератора к потребителю переменным, не использует сеть в полной мере.

Именно с этой целью на вал. Описанного выше генератора насаживают 3 рамки, сдвинутые друг относительно друга на 120^о и совершенно одинаковые они вырабатывают 𝓔 называемую трёхфазной симметрией.

Поскольку 𝑝(t) =const только при строгой симметрии цепи и генератора, то ясно, что симметрия важна для достижения тех целей, с которыми вводится трёхфазная система энергоснабжения. Проблема симметрирования многофазных систем усложнена тем, что огромная часть электроэнергии потребляется однофазными приёмниками энергиями.

Симметрирование электроэнергетических сетей осуществляют на основе статистических оценок графиков работы однофазных потребителей с помощью соответственного группирования этих потребителей.

Наличие нулевого провода для состояния цепи безразлично, то система является электроэнергетическим идеалом. Все расчеты, проекты энергосистем направлены на формирование этого идеала. Практически любые не симметричные режимы в электроэнергетики квалифицируются как аварии.

В несимметричном режиме не применимы методы расчёта трёхфазных цепей. Во всех остальных случаях справедливы общие электротехнические методы.

Охрана симметрий цепи столь же актуальна и объясняется теми же энергетическими соображениями , что и поддержания высокого cosφ . На крупных предприятия основные потребители являются симметричными трёхфазными. И нарушение симметрии там может происходить лишь из-за неверного проектирования освещения.

Трёхфазными являются бортовые генераторы всех современных автомобилей, ракет.

Бортовой генератор автомобиля содержит шестифазный выпрямитель. Если один из диодов пробит, то график p(t) отличается от p(t)=const.

Теория симметричных трёхфазных цепей обычно генерирует одной фазой при расчёте состояния цепи. В противном случае цепь необходимо рассчитать всю и общими методами. В случае трёхфазной цепи расчёт простой, если придерживаться стандартных направлений и терминов т.е. правила произвольности в назначения направлений токов и напряжений не действует.

Очевидно линейные напряжения больше фазных

При соединении нагрузки в исчезает возможность установки нулевого провода и стандартные направления фазных токов приобретают двойное обозначение.

Соединение: -

Однако линейные напряжения теперь равны фазным.

Колебания напряжений в фазах однофазных нагрузок напрямую зависит от мощности нулевого провода и уровня допустимой не симметрии и обусловлены передвижениями потенциала внутри напряжений.

Важно, чтобы конструкция трёхфазного генератора обеспечивала симметрию передачи. Расчёт цепи с трёхфазным генератором, соединяющим взаимные индуктивности, не представляет трудности, т.к. цепь полностью удовлетворяет введённым ранее условиям.

Синхронный и асинхронный двигатель.

Из-за поочерёдного и равномерного во времени распределения максимумов токов разных фаз, внутри статера возникает вращающееся магнитное поле, за которым будет увеличен намагниченный ротор, при трёх наконечниках статера скорость вращения равна круговой частоте сети(50 Гц), ω=314, с такой же скоростью будет вращаться магнит NS, если ротор ничем ненагружен, то ориентация ротора равна ориентации поля, при появлении нагрузки, ротор будет откланяться на некоторый угол, равный величине нагрузке на валу, однако, при намагниченном роторе скорость его вращения будет строго постоянной – синхронный двигатель.

Синхронный двигатель применяется в электронных устройствах, т.к. имеет большой механический момент и стабильную скорость вращения. Если вместо ротора- магнита поставить просто проводящий металлический ротор, то вращающееся поле создаст внутри него токи в соответствие с 3 ЭМИ(вихревые токи). Токи создадут магнитное поле, которое связанно с внешним полем и не жёстко с ротором. В силу последнего, ротор будет отставать от внешнего поля по скорости вращения. В результате получим асинхронное вращение ротора и асинхронный двигатель. Асинхронный электропривод применяется в промежуточных установках небольшой мощности.

Асинхронные двигатели обладают низкой стабильностью скоростей вращения малыми механическими моментами и невысокими характеристиками КПД.

Самый ответственный момент для любого электрического двигателя это старт вращения. Как у синхронного, так и асинхронного двигателя пусковой механический момент очень мал, из-за того, что внешнее вращающееся поле приобретёт вращающуюся скорость линейно. Все двигатели находятся в асинхронном режиме на старте и имеют невысокие характеристики.

Переходные процессы.

Процесс в цепи, вызванный той или иной коммутацией, приводящий к изменению запаса энергии в электронной цепи называется переходным.

Если запас W в цепи, в результате коммутации не меняется, то ПП может и не быть. Очевидно, запасами энергии цепи обладают реактивные элементы L и C и стало быть, если в цепи нет реактивных элементов, то ПП не будет.

ПП описываются дифференциальными уравнениями. При этом считается, что коммутация при t=0 уже свершилась.

Дифференциальные уравнения ПП(ДУПП) для линейных цепей с постоянными параметрами описываются линейными ДУ однородными или неоднородными.

При

Для одной и той же цепи ДУПП для одних переменных может оказаться неоднородным, а для других однородным. В общем случае решение ДУПП имеет твёрдо установленную форму: общее решение однородного уравнения в виде суммы экспонент в количестве, равном порядку уравнения и любое частное решение соответственного неоднородного.

Термин любое решение неоднородного уравнения можно употребить до определения констант перед экспонентами.

В нашем примере ток:

В качестве частного решения неоднородного уравнения, при решении ДУПП берут значения искомых переменных в ПКУР.

Сумму экспонент, соответствующую решению однородного уравнения называют свободой состояний процесса.

После определения установившихся режимов возникает возможность найти константы перед экспонентами А, В.

Поскольку для всех ДУПП всегда решается задача Коши, то для полного решения ДУПП достаточно начальных условий по самой функции для уравнения 1 порядка или по самой функции и её (n-1) производных для уравнений n-ого порядка.

Порядок ДУПП определяется числом реактивных элементов.

Число уравнений ДУПП определяется по известным топологическим правилам для систем Кирхгофа, для системы МКТ.

Для получения начальных условий по самой функции удобны так называемые законы коммутации.

Законы коммутации касаются 2-х энергозначимых параметров: напряжения на C и тока через L. Эти энергозначимые параметры не могут изменяться скачком при любых коммутациях, т.к. это вызывает скачок W, обращение производной ,

p(t)=.

Законы коммутации:

1. Коммутация напряжения на конденсаторе не меняется скачком:

Обратить внимание!

Ток через С на её энергию не влияет и может изменяться скачком.

Напряжение на L не влияет на её энергию и может изменяться скачком.

Т.е. величины в цепи, которые необходимы для решения ДУПП и на которые распространяются законы коммутации, называются независимыми начальными условиями. Все остальные величины в цепи, называются зависимыми начальными условиями, они нужны для решения ДУПП, очевидно, ННУ все U_c и все ί_L.

Например, в рассматриваемой выше задачи.

В рассматриваемой цепи мы можем организовать характеристические уравнения, как с помощью ДУПП для U_c, так и с помощью ДУПП для ί_L(е) уравнения могут быть различны.

Всякая геометрическая прогрессия есть экспонента,

Для рассматриваемой цепи τ=RC- постоянная времени за время τ экспонента тока уменьшается в е раз.

В цепях 2-ого порядка корни могут оказаться комплексными, если в цепи после коммутации остались разнородные накопители C и L. В этом случае корни могут стать комплексными при определённом соотношении параметров.

Закон коммутации для C используется в устройствах точечной электросварки.

Цепи второго порядка.

Условие при t=0 для первой производной

Задача была бы решена, если бы нашли p1 и p2, их находим из характеристического уравнения.

Подкоренное выражение может оказаться отражённым при R<2

Корни будут комплексными и сопряжёнными в силу теоремы Виетта, а процесс будет комбинированным.

Если подкоренное выражение , то процесс носит монотонный характер и конденсатор заряжается монотонно.

При R>0 колебания происходят бесконечно и система не приобретает установившегося режима.

Переходные процессы в сложных цепях.

Все токи при t>=0

Вид решения.

Очевидно, цепь может иметь комплексные корни. Их может быть более 2-х, хотя общее число корней 3.

Корни- обязательно будет вещественный корень.

Пользуясь правильными н.у. можно составить мнемонические сходимости для определения начальных условий, исходя из поведения реактивностей в течении времени 𝓔 после t=0:

Конденсаторы являются в течении этого времени ИИН, а индуктивности- ИИТ.

Ток через индуктивность не может изменяться скачком

Можно построить мнемоническую схему:

Схема позволяет найти зависимые начальные условия по очевидным независимым начальным условиям.

Т.е. это ЗНУ позволяет определить первую производную при t=0.

Уравнение для определения констант.

Т.е. описанная мнемоническая схема позволяет найти начальные значения многих функций, на которые законы коммутации не распространяются.

Во многих случаях надобности в составлении полной системы Кирхгофа для t0 нет, поскольку вид решения известен заранее, а константы можно найти с помощью мнемонических схем.

Правила для организации системы Кирхгофа аналогичны ранее изученным.

Из системы уравнений можно получить алгебраический полином для вычисления характеристических показателей. Известны 3 способа характеристического уравнения:

1)Систему уравнений подстановками свести к одному уравнению, относительно одного любого токаи по нему составить характеристическое уравнение, заменяя производную n-ого порядка на pⁿ , а саму функцию на 1.

Самый непроизводительный путь!

2)По системе Кирхгофа составляем определитель, заменяя напряжения на индуктивностях множителем pL на соответствующем месте, а напряжение на C множителем на соответствующем месте , раскрываем его и решаем полученный полином.

= 0

Более простой способ, чем 1

3)Удобен и прост, если цепь содержит только последовательные и параллельные соединения относительно ветви (любой). Составляем относительно произвольной ветви формулу входного сопротивления z(p)=z_вх(p), записывая сопротивление L, как pL.

Поскольку z(p) можно записывать со стороны любой ветви.

Самый громоздкий во всей методологии является этап вычисления констант перед экспонентой. Для каждой схемы приходиться продумывать свой метод.

Это называется классическим методом решения ДУПП.

Практически это самый тяжёлый путь, по сравнению с численными методами интегрирования ДУПП, операторными и интегральными.

Недостатки классического метода:

1) Необходимость отдельно и полно решать задачу цепи для ДКУР и ПКУР.

2) Сложность организации систем уравнений для расчёта констант перед экспонентами.

3) Необходимость вычисления корней алгебраических уравнений иногда весьма высокого порядка.

Простейший численный метод интегрирования ДУ

(явный метод Эйлера).

Численные методы решения ДУПП не имеют конкурентов среди аналитических методов. Численные методы построены на разложении экспонент решения ДУПП в ряд Тейлора.

Явный метод Эйлера относится к методу первого порядка, суть в простой замене d, при _min

Схема расчёта:

Точность расчёта простейшим методом интегрирования ДУПП зависит от шага - чем он меньше, тем точность выше,

Более сложные схемы численных расчётов, заложенные в программном обеспечении компьютеров, нужны чрезвычайно редко.

Недостатком всех численных методов считается необходимость ориентировки в величине . В идеале необходимо составить характеристическое уравнение, найти корни и по ним вычислить . На практике же выбирают экспериментальным путём, проводя пробные расчёты.

Понятие о некорректных задачах и некорректно заданных н.у.

Теоретическая электротехника оперирует с математическими моделями, с чёткими математическими свойствами.

В этой связи возможны неправомерные комбинации математических моделей.

В этих случаях необходимо некорректно найденную модельную задачу уточнить и затем решить, как корректную.

Особенно легко наткнуться на некорректно поставленную задачу в ПП,

А задача по размыканию этой цепи является некорректной.

Так должны выполняться условия: (0₊), но току протекать негде, задача построена некорректно и требует уточнения условий.

Некорректной является такая задача:

В данном случае энергия измениться скачком, т.к. момент коммутации возможны бесконечно большие мощности и действует более надёжный в физике закон.

Действует закон постоянства заряда:

Заряд узла цепи при любых коммутациях не может изменяться скачком: ”сильная” форма закона коммутации для ёмкости:

После уточнения начальных условий некорректно поставленной задачи, далее она решается обычными методами: численными или аналитическими.

“Сильная” форма закона коммутации для контура.

Сильная форма закона коммутации для потокосцепления контура – суммарное потокосцепление катушки контура не может меняться скачком.

Энергия системы уменьшается скачком на величину излученной пачки оптического пакета.

Обе сильные формулировки законов коммутации являются в действительности компактным изложением результата в корректной постановки задачи, выведенной затем на предельные параметры.

Задачи с некорректно поставленными условиями на практике лучше сначала попытаться уточнить. И попытаться решить в рамках слабых форм законов коммутации- это даёт полезные инженерные выводы.

71