7. Годовая рента с непрерывным начислением про-центов по ставке δ

Современная ценность вечной ренты в этом случае равна пределу выражения, данного в формуле (5.10):

A∞= limn→∞ A= limn→∞R((1-e^-δn)/(e^δ-1))=R limn→∞((1-e^-δn)/(e^δ-1))

т.е.

.

р -срочная рента с непрерывным начислением про-центов по ставке δ

Современная ценность вечной ренты в этом случае равна пределу выражения, данного в формуле (6.11): A∞=limn→∞A=limn→∞R×((1-e^-δn)/(p×(e^δ/p-1)))=R/(p×(e^δ/p-1)) следовательно,

A∞=R/(p×(e^δ/p-1)).

(6.21)

                               

Г9. Вечная рента с периодом больше года с непрерывным начислением процентов по ставке δ Современная ценность вечной ренты в этом случае равна пределу выражения, данного в формуле (5.12): A∞=limn→∞A=lim n→∞Rr×((1-e-δn)/(p×(eδr-1)))=Rr/(eδr-1), cледовательно,

A∞=Rr/(eδr-1).

(6.22)

                     

	Пример 5. Предприятие собирается учредить фонд для выплаты стипендий направленным на учёбу работникам в сумме 1200 000 руб. ежегодно. Какую сумму должно положить предприятие в банк, чтобы обеспечить получение необходимых денег неограниченно долго, если а) банк выплачивает 12% годовых (сложных,), б) банк выплачивает проценты по ставке j4= 12%, в) банк выплачивает непрерывные проценты с силой роста δ =12% ? Решение, а) Последовательность получаемых сумм является вечной рентой с начислением процентов в конце года. Применяем формулу (5.13) при R= 1200000, i= 0.12: A∞=R/i=1 200 000/0.12=10 000 000 руб.                  I б) Последовательность получаемых сумм является вечной рентой с начислением процентов m раз в год по годовой ставке jm.Применяем формулу (5.16) при m = 4, jm= 12%, jm/m= 12%/4 = 3%: A∞=R/((jm)/m)×(sm;(jm)/m)=1 200 000/(0.003×s4;3%). По Таблице 2 находим s 4:3% = 4.183627; тогда A∞=1 200 000 /(0.034×4.183627)= 9 561 081.81 руб. в)  Последовательность получаемых сумм образует веч- ную ренту с непрерывным начислением процентов по годо- вой ставке 6Применяем формулу (5.20) при R= 1200 000, δ= 12% = 0.12: A∞=R/(e^δ-1)=1 200 000 /(e^0.12-1)=9 411 997.13 руб

 

	Пример 6. Решить предыдущее упражнение, если пред-приятие желает снимать равные суммы ежемесячно (при том же годовом доходе). Решение, а) Последовательность получаемых сумм образует р-срочную вечную ренту с выплатой процентов в конце года. Применяем формулу (5.14); в этом случае р = 12,  i= 12%: A∞=R×(Kp;i/i)=1 200 000 × (K12;12%)/0.12 По Таблице 4 находим: K12;12% = 1.053874826; следовательно, А∞ = 1200 000 ×(1.053874826/0.12) =10538748.26 руб. б) Последовательность снимаемых сумм образует р -срочную вечную ренту с выплатой процентов 4 раза в год.  Применяем формулу (5.17) при m = 4, р = 12, jm= 12% = 0.12, jm/m = 0.12/4 = 0.03: A∞=R/(p×((jm)/m)×(sm/p;jm/p))=1 200 000 ×(12 ×0.03×s4/12;3%) В наших таблицах нет значения s1/3;3% поэтому находим его по формуле (4.1): s 1/3 ; 3%   =  (1 + 0.03) ^1/3   -1/0.03 = 0.330054466 Вычисляем A∞ A∞= 1 200 000/ (12×0.03× 0.330054466) = 10 099 343.22  руб. в) Последовательность снимаемых сумм является р -срочной вечной рентой с выплатой непрерывных процентов. Применяем формулу (5.21) при р = 12, 5 = 12% = 0.12: A∞= (R /p)×(e ^δ/p-1) = 1 200 000/ (12×( e^0.12 \ 12-1)) = 9 950 083.42   руб. б) Последовательность снимаемых со счёта сумм является вечной рентой с периодом больше года. Применяем формулу (5.19) при r = 2, Rr= 2400000, m = 4, jm/m= 12%/4 = 3% = 0.03: A∞= R r /((j m/m )×(s mr ; jm/m))= 2 400 000/((0.12/4) × s 4×2 ; 12%/ 4= =2 400 000/( 0.03× s 8 ; 3%) По Таблице 2 находим: s8;3% = 8.892336046 и вычисляем A∞ A∞= 2 400 000/( 0.03 × 8.892336046) = 8996511.11 руб. в) Последовательность получаемых сумм образует вечную ренту с периодом больше года и непрерывным начиcлением процентов. Применяем формулу (5.22) при r = 2, Rr= 2400000, δ = 12% = 0.12: A∞= R r   /(e^δr-1)  = 2 400 000/ (e^0.12×2 -1)  = 8847 953.99 руб.

  

	Пример 7.   Решить упражнение 5 при условии, что предприятие желает снимать каждые 2 года сумму в 2 400 000 руб. (Решение. Во всех случаях последовательность снимаемых со счёта сумм является вечной рентой с периодом больше года.) а) В этом случае проценты начисляются в конце каждого года.   Применим формулу (5.15) при r = 2, Rr= 2400000, i = 12% = 0.12: A∞= R /( i× s r ; i )=2 400 /( 0.12 × s 2 ; 12%) Значение функции s2;12% в наших таблицах отсутствует, поэтому вычисляем его по формуле (4.2): s 2 ; 12% =((1+ 0.12)2 -1)/ 0.12 = 2.12, следовательно, A∞= 2 400 000/ (0.12×2.12 )= 9 433 962.26  руб.