6.4. Погашение долгосрочной задолженности несколькими платежами
Рассмотрим случай, когда задолженность погашается не единовременным платежом, а несколькими равными платежами, которые делается через равные промежутки времени. Такая форма погашения задолженности распространена в потребительском кредите и во внешнеторговых расчётах. Опишем соответствующую задачу. Заёмщик взял ссуду, равную Sруб., и обязался вернуть долг, сделав n равных срочных уплат через равные промежутки времени. Требуется определить величину срочной уплаты а при условии, что на долг начисляются сложные процен- ты по ставке qза каждый промежуток времени. Последовательность срочных уплат является рентой, имeющей n членов, современная ценность которой равна S. Следовательно, по формуле (5.2) S= α×an; откуда α= S/ a n ; q При такой системе расчётов каждая следующая срочная уплата включает большую сумму погашения долга, чем предыдущая, и меньшую сумму выплачиваемых процентов, а именно: сумма выплачиваемых в t-ом периоде процентов рав- на Stq, где St— остаток долга на начало t-ro периода и S1 = S, а сумма погашения долга в t-ом периоде равна величине at = а - Stq- Остаток долга на начало t-ro периода равен сумме St = St-1- αt-I(t = 2,... ,n). Рассмотрим пример.
|
|
Пример 7. Решить упражнение 5 при условии, что предприятие желает снимать каждые 2 года сумму в 2 400 000 руб. (Решение. Во всех случаях последовательность снимаемых со счёта сумм является вечной рентой с периодом больше года.) а) В этом случае проценты начисляются в конце каждого года. Применим формулу (5.15) при r = 2, Rr= 2400000, i = 12% = 0.12: A∞= R /( i× s r ; i )=2 400 /( 0.12 × s 2 ; 12%) Значение функции s2;12% в наших таблицах отсутствует, поэтому вычисляем его по формуле (4.2): s 2 ; 12% =((1+ 0.12)2 -1)/ 0.12 = 2.12, следовательно, A∞= 2 400 000/ (0.12×2.12 )= 9 433 962.26 руб.
|
|
|
|
|
Пример 8. Долг в 300 тыс. руб. надо погасить равными срочными уплатами за 5 лет, делая платежи в конце каждого года. За долг выплачиваются проценты по годовой ставке q= 5%. Составим план погашения долга. Решение. По условию задачи n = 5, S= S1= 300 000, q= 0.05. По Таблице 3 находим а5;5% = 4.329476671 и вычисляем срочную уплату по формуле (6.23):
α = S / a 5 ; 5% = 300 000/ 4.329476671 = 69292.44 руб.
Записываем план погашения долга в виде таблицы:
|
Номер |
Остаток |
Срочная |
Сумма |
Сумма |
|
года |
долга |
уплата |
выплачен- |
погашения |
|
t |
на начало |
α |
ных |
долга |
|
|
t-ro года |
|
в t-ом году |
в t-ом году |
|
|
(руб.) |
|
процентов |
|
|
|
|
|
(руб.) |
|
|
1 |
300000 |
69292 |
15000 |
54292 |
|
2 |
245708 |
69292 |
12 285 |
57007 |
|
3 |
188701 |
69292 |
9435 |
59857 |
|
4 |
128844 |
69292 |
6442 |
62850 |
|
5 |
65994 |
69292 |
3300 |
65994 |
|
|
|
|
Итого: |
300000 |