- •Содержание
- •Глава I. Функция и ее предел
- •§ 1. Множества
- •§ 2. Понятие функции
- •§ 3. Основные характеристики функции
- •§ 4. Классификация функций
- •4.1. Обратная функция
- •4.2. Сложная функция
- •4.3. Основные элементарные функции и их графики
- •§ 5. Числовые последовательности
- •§ 6. Предел функции
- •6.1. Предел функции в точке
- •6.2. Предел функции при
- •6.3. Теоремы о пределах функций
- •6.4. Два замечательных предела
- •§ 7. Бесконечно большие и бесконечно малые функции
- •7.1. Бесконечно большие функции и их свойства
- •7.2. Бесконечно малые функции и их свойства
- •7.3. Связь между функцией, ее пределом и б. М. Ф.
- •7.4. Сравнение бесконечно малых функций
- •§ 8. Вычисление пределов функции
- •§ 9. Непрерывность функции
- •9.1. Односторонние пределы
- •Понятие непрерывности функции
- •Классификация точек разрыва функции
- •9.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Глава II. Дифференциальное исчисление
- •§ 10. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл
- •10.1. Определение производной
- •10.2. Геометрический смысл производной
- •10.3. Физический смысл производной
- •§ 11. Правила дифференцирования функций и производные элементарных функций
- •Правила дифференцирования
- •11.2. Производные элементарных функций
- •11.3. Логарифмическое дифференцирование
- •11.4. Производные высших порядков
- •Производная неявной функции
- •11.6. Производная функции, заданной параметрически
- •§ 12. Дифференциал функции
- •§ 13. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Геометрический смысл теоремы Ролля.
- •§ 14. Правило Лопиталя
- •14.1. Теорема Лопиталя
- •14.2. Другие виды неопределенностей и их раскрытие
- •§ 15. Исследование функций при помощи производных
- •15.1. Признак монотонности функции Необходимое условие экстремума функции
- •15.2. Достаточные условия экстремума
- •15.3. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции
- •15.4. Асимптоты графика функций
- •15.5. Общая схема исследования функции
- •15.6. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
- •Литература
§ 2. Понятие функции
Одним из основных понятий математики является понятие функции. Оно связано с установлением зависимости (связи) между элементами двух множеств.
Определение. Если каждому элементу соответствует единственный элемент , то говорят, что на множестве задана функция (- знак функции).
Переменную называют аргументом или независимой переменной, а переменную – зависимой переменной от х; множество – областью определения функции , а множество – множеством значений функции , – закон соответствия. – множество значений аргумента, при которых формула имеет смысл.
Кроме буквы для обозначения функций используют и другие буквы греческого и латинского алфавитов: , , , и так далее.
Примеры.
1) , .
2) , .
3) или , .
4) , .
Если элементами множеств и являются действительные числа, то функция называется числовой.
Частное значение функции при обозначают так:.
Например,
График функции – это множество точек плоскости с координатами , где , для каждой из которых является значением аргумента, а является соответствующим значением функции.
Способы задания функции.
1. Аналитический: функция задается с помощью одной или нескольких формул, или уравнений.
Если область определения функции не указана, то она совпадает со множеством всех значений аргумента, при которых указанная формула имеет смысл.
2. Графический: задается график.
3. Табличный: с помощью таблицы ряда значений аргумента и соответствующих значений функции, полученных в результате некоторого опыта.
4. Словесный: функция описывается правилом ее составления.
Например, функция Дирихле , если
, если – иррациональное.
§ 3. Основные характеристики функции
1.Функция , определенная на множестве , область опреления которой симметрична относительно начала координат, называется: четной, если выполняются условия и ; нечетной, если выполняются условия и . В противном случае функция называется функцией общего вида.
График четной функции симметричен относительно оси , график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Например, функция - четная, а функция –функция общего вида.
2. Пусть функция определена на множестве , интервал .
Если для любых и из интервала, причем , выполняется неравенство:
1) , то функция называется неубывающей на ;
2) , то функция называется невозрастающей на ;
3) , то функция называется возрастающей на ;
4) , то функция называется убывающей на .
Во всех рассмотренных случаях функции называются монотонными, а возрастающая и убывающая функции строго монотонными.
Например, на рисунке функция на строго монотонная;
на монотонная.
3. Функция , определенная на множестве , называется периодической на этом множестве с периодом , где – положительное число, если выполняются условия: и . Если – период, то периодом функции также будут числа , где
Например, для функции периодами будут числа
4. Функция , определенная на множестве , называется ограниченной на этом множестве, если существует такое число , что для всех выполняется неравенство . Коротко можно записать так:
.
График ограниченной функции расположен между прямыми и . Например, функция ограничена, так как .