- •Содержание
- •Глава I. Функция и ее предел
- •§ 1. Множества
- •§ 2. Понятие функции
- •§ 3. Основные характеристики функции
- •§ 4. Классификация функций
- •4.1. Обратная функция
- •4.2. Сложная функция
- •4.3. Основные элементарные функции и их графики
- •§ 5. Числовые последовательности
- •§ 6. Предел функции
- •6.1. Предел функции в точке
- •6.2. Предел функции при
- •6.3. Теоремы о пределах функций
- •6.4. Два замечательных предела
- •§ 7. Бесконечно большие и бесконечно малые функции
- •7.1. Бесконечно большие функции и их свойства
- •7.2. Бесконечно малые функции и их свойства
- •7.3. Связь между функцией, ее пределом и б. М. Ф.
- •7.4. Сравнение бесконечно малых функций
- •§ 8. Вычисление пределов функции
- •§ 9. Непрерывность функции
- •9.1. Односторонние пределы
- •Понятие непрерывности функции
- •Классификация точек разрыва функции
- •9.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Глава II. Дифференциальное исчисление
- •§ 10. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл
- •10.1. Определение производной
- •10.2. Геометрический смысл производной
- •10.3. Физический смысл производной
- •§ 11. Правила дифференцирования функций и производные элементарных функций
- •Правила дифференцирования
- •11.2. Производные элементарных функций
- •11.3. Логарифмическое дифференцирование
- •11.4. Производные высших порядков
- •Производная неявной функции
- •11.6. Производная функции, заданной параметрически
- •§ 12. Дифференциал функции
- •§ 13. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Геометрический смысл теоремы Ролля.
- •§ 14. Правило Лопиталя
- •14.1. Теорема Лопиталя
- •14.2. Другие виды неопределенностей и их раскрытие
- •§ 15. Исследование функций при помощи производных
- •15.1. Признак монотонности функции Необходимое условие экстремума функции
- •15.2. Достаточные условия экстремума
- •15.3. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции
- •15.4. Асимптоты графика функций
- •15.5. Общая схема исследования функции
- •15.6. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
- •Литература
§ 9. Непрерывность функции
9.1. Односторонние пределы
Пусть .
Переменная может стремиться к по-разному:
-
оставаться меньше, чем ( слева от);
-
оставаться больше, чем (справа от ).
Если рассматривать , то число называется левосторонним пределом функции в точке . Обозначается так: .
Если рассматривать , то число называется правосторонним пределом функции в точке .
Обозначается так: .
Эти пределы называются односторонними пределами функции.
-
Понятие непрерывности функции
Определение 1. Пусть функция определена в точке и в некоторой окрестности этой точки. Функция называется непрерывной в точке , если выполняется условие .
Можно дать еще одно определение непрерывности функции в точке. Для этого введем понятия приращения аргумента и приращения функции.
Пусть функция определена в некотором интервале, и – два произвольных значения аргумента из этого интервала. Разность называется приращением аргумента в точке . Разность называется приращением функции в точке .
Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е. .
Определение 3. Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой точке интервала и в точке непрерывна справа (т. е. ), а в точке непрерывна слева (т.е. ).
Важное значение для исследования непрерывности функции имеют следующие теоремы:
-
Основные элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены.
-
Если и непрерывны в точке , то в этой же точке непрерывны функции ; ; при .
-
Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .
-
Если функция непрерывна и строго монотонна на отрезке оси , то и обратная ей функция непрерывна и строго монотонна на соответствующем отрезке оси .
-
Классификация точек разрыва функции
Определение. Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.
Все точки разрыва функции делятся на точки разрыва первого и второго рода.
Определение. Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке существуют конечные односторонние пределы:
и .
При этом: а) если то точка разрыва называется точкой устранимого разрыва; б) если , то точка разрыва называется точкой конечного разрыва.
Величину называют скачком функции в точке разрыва первого рода.
Определение. Точка называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.
Пример 1. Доказать, что функция непрерывна в точке .
¦ 1) По первому определению: .
2) По второму определению:
.
Пример 2. Исследовать функцию на непрерывность.
¦ – точка разрыва.
не существует, в других точках .
– устранимый разрыв.
Функцию в точке можно доопределить
Пример 3. Найти точки разрыва функции и определить их вид.
¦
в точке разрыв первого рода.
в точке функция непрерывна.
Пример 4. Исследовать функцию на непрерывность
в точках и .
¦
1) – функция непрерывна.
2) не существует – следовательно, - точка разрава
Имеем разрыв II рода.
.