- •Содержание
- •Глава I. Функция и ее предел
- •§ 1. Множества
- •§ 2. Понятие функции
- •§ 3. Основные характеристики функции
- •§ 4. Классификация функций
- •4.1. Обратная функция
- •4.2. Сложная функция
- •4.3. Основные элементарные функции и их графики
- •§ 5. Числовые последовательности
- •§ 6. Предел функции
- •6.1. Предел функции в точке
- •6.2. Предел функции при
- •6.3. Теоремы о пределах функций
- •6.4. Два замечательных предела
- •§ 7. Бесконечно большие и бесконечно малые функции
- •7.1. Бесконечно большие функции и их свойства
- •7.2. Бесконечно малые функции и их свойства
- •7.3. Связь между функцией, ее пределом и б. М. Ф.
- •7.4. Сравнение бесконечно малых функций
- •§ 8. Вычисление пределов функции
- •§ 9. Непрерывность функции
- •9.1. Односторонние пределы
- •Понятие непрерывности функции
- •Классификация точек разрыва функции
- •9.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Глава II. Дифференциальное исчисление
- •§ 10. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл
- •10.1. Определение производной
- •10.2. Геометрический смысл производной
- •10.3. Физический смысл производной
- •§ 11. Правила дифференцирования функций и производные элементарных функций
- •Правила дифференцирования
- •11.2. Производные элементарных функций
- •11.3. Логарифмическое дифференцирование
- •11.4. Производные высших порядков
- •Производная неявной функции
- •11.6. Производная функции, заданной параметрически
- •§ 12. Дифференциал функции
- •§ 13. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Геометрический смысл теоремы Ролля.
- •§ 14. Правило Лопиталя
- •14.1. Теорема Лопиталя
- •14.2. Другие виды неопределенностей и их раскрытие
- •§ 15. Исследование функций при помощи производных
- •15.1. Признак монотонности функции Необходимое условие экстремума функции
- •15.2. Достаточные условия экстремума
- •15.3. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции
- •15.4. Асимптоты графика функций
- •15.5. Общая схема исследования функции
- •15.6. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
- •Литература
9.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке
Функции, непрерывные на замкнутом отрезке, обладают рядом свойств, которые сформулируем в виде теорем (без доказательства).
Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения, т.е. существуют точки и , такие, что
, . Следовательно, для всех .
На рисунке .
Следствие. Если функция непрерывна на отрезке, то она на нем органичена.
Теорема 2. Если функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах неравные значения и , то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между
и . Т.е. для любого числа , заключенного между и , найдется внутри этого отрезка такая точка , где .
Прямая пересечет график функции по крайней мере в одной точке.
Следствие. Если функция непрерывна на отрезке и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то на этом отрезке найдется хотя бы одна точка , в которой .
Глава II. Дифференциальное исчисление
§ 10. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл
10.1. Определение производной
Определение. Производной от функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, т.е. .
Обозначение: .
Используют и другие
обозначения:
, , , , .
Производная функции в точке обозначается так:
.
Функция , имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой на этом интервале.
Операция нахождения производной функции называется дифференцированием.
Вычислим производную функции , используя определение:
Теорема. (Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции).
Если функция дифференцируема в точке, то она в этой точке непрерывна. Обратное утверждение неверно.
Например, функция в точке непрерывна, но производная в этой точке не существует.
10.2. Геометрический смысл производной
Пусть функция определена и непрерывна на некотором интервале. Пусть точка на графике функции соответствует значению аргумента , а точка – значению , где – приращение аргумента. Проведем через точки и прямую и назовем ее секущей.
Определение. Касательной к графику функции в точке называется предельное положение секущей при неограниченном приближении точки по графику к точке (или, что то же самое, при ).
Пусть – угол между секущей и осью , – угол между касательной и осью .
На рисунке видно, что угловой коэффициент секущей равен .
Из определения касательной следует, что угловой коэффициент касательной равен
Следовательно, угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой , равен значению производной функции в этой точке.
Определение. Прямая , перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания, называется нормалью к графику функции.
– уравнение касательной,
– уравнение нормали,
где .