Питання для самоперевірки

1. Що називається параметричним критерієм?

2. Записати критерій перевірки гіпотези про рівність двох серед­ніх із відомим СКВ.

3. Записати критерій перевірки гіпотези про рівність двох серед­ніх з невідомим СКВ.

4. За яким критерієм перевіряють гіпотези про рівність дисперсій двох вибірок?

5. Як перевіряють гіпотези про рівність дисперсій двох вибірок при правобічній критичній області?

6. Як перевіряють гіпотези про рівність дисперсій двох вибірок при двобічній критичній області?

7. За яким критерієм та як перевіряють гіпотези про рівність дис­персій кількох вибірок?

8. Як користуватися таблицями F-розподілу та G-розподілу?

2.4 Критерії згоди

Критерії згоди використовують для перевірки узгодженості на­явних експериментальних да­них з теоретичним законом, що припускається.

Розглянуті раніше методи пере­вірки гіпотез припускали, що фун­кціональна форма закону розподі­лу відома, й визначалися лише значення параметрів цього закону.

Однак у деяких випадках сам вид закону розподілу потребує статистичної перевірки. Раніше було розглянуто, як, зіставляючи ймовірності потрапляння значень в інтервали з відповідними частостями, отриманими зі спостережень, або проводячи графічне по­рівняння полігонів і гістограм із кривою розподілу, можна скласти первинне уявлення про близькість теоретичного та емпіричного розподілів.

Постає питання про критерії перевірки гіпотези про те, що вели­чина X відповідає конкретному закону розподілу зі щільністю ймо­вірності р(х).

Подібні критерії зазвичай називають критеріями згоди (відповідності). Вони грунтуються на виборі певної міри розбіжності між теоретичним та емпіричним розподілами. Якщо така міра розбіжності для розглянутого випадку перевищує встановлену межу, гіпотеза відхиляється й навпаки.

Таким чином, перевірити таку гіпотезу — означає переконатися в тому, що наявні дані справді взято з генеральної сукупності, яка має передбачуваний закон розподілу.

Розглянемо застосування одного з найбільш уживаних критеріїв χ²-критерію Пірсона.

Критерій χ² припускає, що наявні експериментальні дані розбивають на l елементарних інтервалів, кожний з яких містить не менш ніж 8—10 значень. За відомим правилом будують гістограму, за видом якої, якщо немає додаткових джерел, можна зробити припущення про можливий закон розподілу. Підбирають закон розподілу, якому щонайбільше відповідають наявні дані.

Для кожного елементарного інтервалу можна визначити , — кількість значень, що потрапили в і-й інтервал, l = 1,...,l.

Висувають гіпотезу Н₀: емпіричний розподіл належить до передбачуваного теоретичного. Для того щоб перевірити висунуту гіпотезу, необхідно оцінити розбіжності між емпіричною , і теоретичною т_i кількістю потраплянь за елементарний інтервал за припущення, що випадкова величина X має передбачуваний закон розподілу.

Установлено, що величина

(2.12)

розподілена нормально з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією. Відомо, що сума квадратів нормованих но­рмально розподілених величин підпорядковується χ²-розподілу Пірсона:

Виходячи з виразу (2.12) можна обчислити розрахункове значення χ²

(2.13)

Вираз (2.13) використовують як статистику для перевірки гіпоте­зи про передбачуваний закон розподілу.

Для знаходження теоретичної кількості потраплянь т_і розглянемо співвідношення і запишемо його як .

Відношення є частотою (частістю) потрапляння результатів у i-й елементарний інтервал. Відомо, що при збільшенні загальної кіль­кості спостережень п частота наближається до теоретичної ймовірності p_і потрапляння випадкової величини в і-й елементарний інтервал при передбачуваному законі розподілу. Виходячи із цього, можна записати:

Пам'ятаючи про те, що границею, до якої прямуватиме при збільшенні п, є теоретичне значення т_і кількості потраплянь в ін­тервал, можна записати т_і = пр_і.

Таким чином, можна обчислити теоретичні значення т_і, а потім знайти різницю —т_і, що характеризує розбіжність кількості по­траплянь у кожний і-й інтервал.

Потрапляння результатів в і-й інтервал характеризується біноміальним законом розподілу, для якого

Для знаходження р_і, необхідно користуватися співвідношенням

де х_і й х_і+1— кінці інтервалу, а р(х) наприклад, для нормального за­кону має вигляд:

У випадку, коли Мх і σ невідомі, необхідно обчислити їхні оцінки і s на підставі дослідних даних і увести їх у вираз для за­кону розподілу. Так, для нормального закону оцінка щільності ймовірності

Оскільки на підставі тих самих експериментальних даних додатково обчислюють і s то втрачаються два ступе­ні свободи, тобто f=l-1-2.

Отримане значення порівнюють із критичним , узятим з таблиці χ² — розподілу для обраного рівня статистичної значущос­ті α і кількості ступенів свободи f=l-3.

Якщо можна стверджувати, що з обраним рівнем стати­стичної значущості α приймається гіпотеза Н₀, тобто наявні дані відповідають передбачуваному закону розподілу. Гіпотеза Н₀ відхи­ляється при значеннях , більших за тому використовується тільки правобічна критична область (див. рис. 2.7, б).

Взагалі у практиці перевірки гіпотез про відповідність закону розподілу намагаються застосовувати два методи переві­рки, що підвищує вірогідність прийняття рішення. Особли­во це важливо, коли характерні риси закону розподілу пе­ребувають на його «хвостах», що не завжди можна виявити при малому обсязі випробувань.

Критерій ω² (омега-квадрат). Критерій χ², незважаючи на свою простоту, не завжди забезпечує надійну перевірку гіпотези про закон розподілу, оскільки частина вихідної інформації втрачається при здійсненні процедури групування даних.

Розглянемо критерій згоди при простій гіпотезі, що повністю фік­сує закон розподілу генеральної сукупності, з якої отримано вибірку. Цей критерій, що дістав назву ω², на відміну від χ² грунтується без­посередньо на спостережених (незгрупованих) значеннях величини X.

Нехай гіпотеза полягає в припущенні, що величина X розподіле­на відповідно до деякого неперервного закону розподілу з інтегра­льною функцією F(x), яка вважається відомою.

Розглянемо ряд вибіркових значень х₁,х₂,...,х_п випадкової вели­чини X. Позначимо п_х – кількість значень, що перебуває ліворуч від вибраного значення. Тоді відношення і є емпіричною функцією розподілу. При великому обсязі вибірки емпірична функція розподілу W_n(х) є апроксимацією теоретичної функції розподілу F(x).

Різниця величин W_n(x) і F(x) може бути використана як міра розбіжності між вибірковими даними та передбачуваним законом розподілу генеральної сукупності. За міру цієї розбіжності беруть середній квадрат відхилень за всіма можливими значеннями аргументу:

де

З наявних вибіркових даних будується варіаційний ряд Теоретично рівність будь-яких двох членів у цьому ряді через неперервність функції F(х) практично неможлива, тобто має ймовірність, що дорівнює нулю. Вважаємо, що для х<x₁ емпірична функція розподілу дорівнює нулю, а при х>х_п, дорівнює одиниці. Відповідно до такого визначення функції W_n(x) маємо:

(2.14)

Емпірична функція стрибком змінює свої значення в точках x=x_k на , зберігаючи це значення протягом усього інтервалу x_k – x_k+1 (рис. 2.9)

Рис. 2.9

Виходячи зі співвідношення (2.14), можна подати вираз для критерію ω² у вигляді окремих доданків:

(2.15)

Розглянемо першу складову інтеграла (2.15):

(2.16)

Розглянемо другу складову інтеграла (2.15)

(2.17)

Розглянемо третю складову інтеграла (2.15):

(2.18)

Підставляючи доданки (2.16), (2.17), (2.18) у вираз (2.15), дістаємо:

Після спрощень останній вираз набирає вигляду:

(2.19)

Ця рівність показує, в який спосіб ω² залежить від індивідуаль­них членів варіаційного ряду.

Точний розподіл ω² дуже складний, але дослідження показують, що вже при n > 40 розподіл добутку nω² близький до деякого гранич­ного розподілу, для якого складено таблиці. Фрагмент такої таблиці наведено далі:

α	0.5	0.4	0.3	0.2	0.1
(nω^2)кр	0.1184	0.1467	0.1843	0.2412	0.3473
α	0.05	0.03	0.02	0.01	0.001
(nω^2)кр	0.4614	0.5489	0.6198	0.7435	1.6979

За таблицями визначають критичні значення для величини nω² при n > 40:

Якщо розрахункове значення критерію буде меншим від критич­ного, приймають гіпотезу про передбачуваний закон розподілу.