Питання для самоперевірки

1. Які критерії називаються критеріями згоди?

2. Як за критерієм χ² перевіряють гіпотезу про закон розподілу?

3. Яка міра розбіжності між емпіричним та теоретичним розподі­лом застосовується для критерію χ²?

4. Яка величина підлягає розподілу χ²?

5. Як визначається кількість ступенів свободи для розподілу χ²?

6. Яка величина застосовується як статистика для перевірки гіпо­тези про закони розподілу?

7. Чому використовується тільки правобічна критична область?

8. Які характерні особливості має критерій ω²?

9. Яка міра розбіжності між емпіричним та теоретичним розподі­лом застосовується для критерію ω²?

10. Як знаходиться критичне значення для критерію ω²?

2.5 Непараметричні критерії

У непараметричних критеріях не робиться припущень щодо розподілу генеральної сукупно­сті. Вони застосовуються при будь-яких законах як для кількі­сних, так і якісних ознак.

В експериментальних дослід­женнях часто потрібно порівняти два паралельні ряди спостережень над об'єктами, що належать до рі­зних різновидів, типів, сортів.

При цьому виконують N дослідів при систематичній і планомір­ній зміні від досліду до досліду рівня якого-небудь фактора, розбіж­ність у дії якого на кожний із двох різновидів об'єктів мають з'ясувати. У кожному такому досліді над парою об'єктів, виконано­му, природно, у незмінних умовах, мають два значення порівнюва­ної ознаки двох об'єктів.

Непараметричні критерії використовуються для перевірки того, чи належать дві вибірки до тієї самої генеральної сукупності, тобто чи од­норідні ці вибірки (значення результатів випробувань мають однакові функції розподілів). Такі критерії грунтуються на вивченні послідовно­стей реалізацій випадкової величини. Відповідні обчислювальні проце­дури є ефективними навіть при обмежених обсягах вибірок.

Критерій Уїлкоксона (критерійсерій). Цей критерій дає змогу на основі наявних вибірок, використовуючи інтегральну функцію ймовірностей, перевірити гіпотезу про те, що дві вибірки мають однаковий закон розподілу.

Таким чином, гіпотеза Н₀: F_X (х)=F_Y(х) перевіряється за допомогою однієї вибірки (x₁,..., х_п1) з Х і однієї вибірки (у₁,...,у_п2) із Y. Щодо розподілів X і Y ніяких припущень не робиться.

Значення x₁,..., х_п1 та у₁,...,у_п2 oбох вибірок упорядковуються у спільний варіаційний ряд. Коли в цьому ряді елемент однієї вибірки більший від елемента іншої вибірки, говорять, що пари значень (х_i, y_j) утворюють інверсію.

Під інверсією розуміють перехід від елемента однієї вибірки до елемента іншої вибірки при послідовному просуванні вздовж варіа­ційного ряду, причому інверсія не передбачається для першого еле­мента варіаційного ряду. Як контрольна величина береться повна кі­лькість інверсій и.

Приклад. Для ряду перед у₁ є тільки один елемент х, а отже, кількість інверсій дорівнює одиниці. Елементу у₂ передує один елемент х, кількість інверсій також дорівнює одиниці. Елементу у₃ передують два елементи першої групи, а отже, кількість інверсій дорівнює двом. Аналогічно для у₄ і у₅. Повна кількість інверсій и= 1+1+2+2+2 = 8.

Для перевірки нульової гіпотези можна застосовувати два способи.

1. Якщо гіпотеза правильна, обчислене значення и не повинне відхилятися від свого математичного сподівання:

(2.20)

де m і n – обсяги вибірок.

Від гіпотези відмовляються, якщо більше від певного критичного значення и_α. Критичне значення и_α беруть для заданого рівня значущості α з таблиці критичних значень Уїлкоксона.

2. У загальному випадку, а також у випадку великих m і п, для яких и_α ,не можна взяти з таблиці, справджується формула:

де z_α — визначається з таблиць Лапласа.

Критерій знаків (медіанний критерій). Його використовують тільки в разі, коли вибірки Х та Y однакові за обсягом, тобто значення можна розглядати у вигляді масиву пар чисел (х_і, у_i), і = 1...n…

При застосуванні цього критерію будується спільний варіаційний ряд. Спочатку визначається медіана для цього ряду. Якщо кількість значень непарна, то як медіана використовується середній елемент. Якщо кількість парна, медіана перебуває між i обчислюється за формулою:

Після обчислення медіани визначається знак відхилення поточного значення х_i, і = , від медіани. У такий спосіб одержують послідовність знаків, що розпадається на окремі серії — знаків одного виду, укладених між знаками іншого виду.

Приклад. +++---+----+++ -. Кількість серій r = 6.

За спеціальними таблицями для відомих значень кількості спо­стережень у вибірках N₁ і N₂ визначається для певного рівня статис­тичної значущості α і Якщо виконується спів­відношення

гіпотеза про належність вибірок до однієї генеральної сукупності, для якої F_X(х) = F_Y(х), приймається, у протилежному разі — від­хиляється.

Критерій знаків набув поширення в дослідницьких роботах за­вдяки тому, що процедура його застосування винятково проста, ви­мірювання ознаки, що враховується, можуть виконуватися грубими засобами, тому що має значення лише знак різниці результатів вимі­рювань, а в основу критерію покладені прості положення, яких майже завжди дотримуються (наприклад, не припускають нормаль­ного розподілу досліджуваних величин).