4.7 Дрібний факторний експеримент

План і модель – нерозривно зв’язані поняття. Неможливо приступити до вибору плану без завдання моделі об’єкта. Наприклад, треба встановити, які плани необхідно використовувати, якщо мова іде про лінійну модель і взаємодію, що можна знехтувати.

Кількіс ть дослідів в ПФЕ 2 ^k при К≥3 значно перевищує число лінійних коефіцієнтів. Зокрема, при К=3 кількість дослідів N=8, а число коефіцієнтів дорівнює чотирьом, тобто ПФЕ типу 2³ дає надмірну інформацію, яка несуттєва при побудові лінійної моделі. Для зменшення кількості дослідів і збереженні властивостей, притаманних ПФЕ 2 ^k , користуються дрібним факторним експериментом (дрібною реплікою). Такий план являє собою частину плану ПФЕ. Наприклад, для випадку вивчення трьох факторів матриця планування ПФЕ 2³ має вигляд, показаний в табл. 4.8.

План ПФЕ 2² тут обведено рамкою.

При нехтуванні ефектом взаємодії вектор-стовпець x₁ x₂ плану ПФЕ 2² можна використовувати для введення в цей план нового фактора x₃ , що дозволяє визначити лінійну модель об’єкта у вигляді Y=b₀+b₁x₁+ b₂x₂+ b₃x₃

Таблиця 4.8 - Матриця планування трикратного експерименту

№ досліду	x0	x1	x2	x3	x1 x2	x1 x3	x2 x3	x1 x2 x3	Y
1	+1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	-1	Y1
2	+1	+1	-1	-1	-1	-1	+1	+1	Y2
3	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	+1	Y3
4	+1	+1	+1	-1	+1	-1	-1	-1	Y4
5	+1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	Y5
6	+1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	-1	Y6
7	+1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	-1	Y7
8	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	Y8

У загальному випадку дрібна репліка відповідає плану ПФЕ типу 2 ^k-r де показник r, r = 1,2…, характеризує дрібність репліки відносно плану 2 ^k .

Відмітимо, що ефективність застосування дрібних реплік підвищується із зростанням числа факторів. Так при дослідженні впливу шести факторів на лінійні моделі можна в b разів скоротити число дослідів, використавши репліку більшої дрібності (при r = 3 дрібність репліки складає 1/8 від плану ПФЕ 2 ⁶ і замість 64 дослідів проводяться 8).

4.8 Складання планів другого порядку

У тих випадках, коли поверхня відклику суттєво нелінійна в рівнянні моделі крім лінійних членів і членів, що враховують взаємодію, необхідно, як мінімум включати й квадратичні члени, які дозволяють відобразити не лінійність яких-небудь переріз ів поверхні відклику. Як і раніше, завданняпланування експерименту полягає у визначенні: за виміряними значеннямивідгуку Yі коефіцієнтів апроксимуючого полінома, що включає в себе квадратичні члени. Зокрема, при двофакторному експерименті така модель має вигляд

(4.5)

Спроба оцінити коефіцієнти полінома за планом ПФЕ 2² не дає позитивних результатів. Дійсно, при побудові вектор-стовпців для x₄=x₁² I x₅=x₂² одержимо стовпчики, які співпадають один з одним і з стовпчиком x.Оскільки вказані с товпці не відмінні, неможливо визначити, за рахунок чого формується значення b ₀ ; воно залежить як власне від b ₀ , так і від внесків квадратичних членів, тобто має місце змішана оцінка. Це твердження справедливе і при більшій кількос ті факторів. Причина полягає в тому, що для характеристики кривизни поверхні відгуку в перерізі Y=f(x_i) при x= const, i j необхідно не менше трьох точок, а дворівневі плани дозволяють встановити тільки дві точки. Таким чином, з планів ПФЕ типу 2² неможливо одержати інформацію про коефіцієнти b _ii при квадратичних членах і членах більш високого порядку. Це завдання може бути вирішена при переході до плану ПФЕ з більшим числом рівнів варіювання факторів, наприклад до плану ПФЕ типу 3 ^k . Проте тоді число дослідів стає досить великим навіть при порівняно малому числі факторів (табл. 4.9)

Більш простим шляхом рішення є добудова плану ПФЕ 2 ^k (або його дрібної репліки) до плану більш високого порядку. В цьому раз і план ПФЕ 2ⁿ приймають за ядро або центр плану другого порядку, а потім до нього додають симетрично розташовані допоміжні точки факторного простору, які називаються зірковими. Іншими словами, крім значень факторів на рівнях ±1 на кожній координатній осі факторного прос тору вибирають дві з іркові точки а також додають точку початку координат i _x = 0, і=1,к. У кожній площині, що проходить через центр і утримує вісь Y і координатну вісь і-го фактора, маєють місце три значення фактора x_i(-a;0;+a) і три відповідних значення Y. Загальне число дослідів у плані, побудованому таким чином при k>1, складає

N = 2^k + 2 k + 1.

Відмітимо, що число дослідів, визначене цим співвідношенням, суттєво менше ніж, наприклад, у плані ПФЕ 3 ^k при k>2.

Таблиця 4.9

Кількість факторів k	Кількість коефіцієнтів квадратичного полінома	Число дослідів при плані
		ПФЕ 2^k,	ПФЕ 3^k,	Другого порядку,
1	3	2	3	3
2	6	4	9	9
3	10	8	27	15
4	15	16	81	25
5	21	32	244	43
6	28	64	732	77
7	36	128	2196	143