2. Требования к выполнению и защите расчетно-графической работы

Расчетно-графическую работу необходимо выполнять на компьютере и бумажную копию сдавать преподавателю на проверку с целью получения допуска к защите - в первом семестре 2-го курса.

Первой страницей расчетно-графической работы является титульный лист. Образец титульного листа приведен на рис. 1.

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«КОСТРОМСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ»

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ КИБЕРНЕТИКИ

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ

РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА

(ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ)»

Вариант №

Выполнил(а):

Проверил(а):

Кострома-200_ г.

Рис. 1: Внешний вид титульного листа

В конце работы необходимо привести библиографический список использованных для выполнения работы литературных источников.

При защите работы студенту необходимо продемонстрировать выполненную работу на компьютере и ответить на дополнительные вопросы. Перечень основных вопросов приведен ниже.

1. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.

2. Что является областью решения задачи линейного программирования на плоскости?

3. Как определить область решения одного линейного неравенства?

4. Построение направляющего вектора, построение линии уровня целевой функции.

5. Как найти экстремальную точку области решения системы линейных неравенств?

6. Когда целевая функция принимает экстремальное значение на отрезке?

7. Что представляет собой числовая модель задачи линейного программирования?

8. Подготовка исходной информации для решения задачи линейного программирования на ПК.

9. Как установить необходимые параметры поиска оптимального решения?

10. Анализ полученного варианта решения задачи.

Без защищенной расчетно-графической работы студент не допускается до сдачи экзамена по соответствующей дисциплине.

3. Пример выполнения задания №1

Задача линейного программирования в простейшем случае может быть решена графическим способом. Графической интерпретации подвергаются только те задачи, в которых число переменных не более 3-х. Рассмотрим решение на примере.

Найдите максимум целевой функции С=4х1+2х2  max, при ограничениях

-х1+3х2  9 (1)

2х1+3х218 (2)

2х1-х210 (3)

х10 (4)

х20 (5)

Решение задачи:

1. Запишем уравнения граничных прямых.

-х1+3х2 = 9 (1)

2х1+3х2 = 18 (2)

2х1-х2 = 10 (3)

х1 = 0 (4)

х2 = 0 (5)

2. Построим в прямоугольной системе координат уравнения граничных прямых. Для построения прямых можно использовать табличный процессор Excel. Предварительно одну из переменных необходимо выразить через другую, а затем занести подготовленные данные на рабочий лист как это представлено на рис.2.

Рис. 2:. Фрагмент ТП «Excel». Внесение исходных данных для построения графиков граничных прямых.

Для построения графиков необходимо использовать «Мастер диаграмм», выбрав точечный график из предложенных вариантов. В результате получается отображение граничных прямых, представленное на рис.3.

Рисунок 3:. Графики граничных прямых на плоскости

3. Найдем область решения каждого линейного неравенства.

Для того чтобы найти область решения линейного неравенства необходимо координаты контрольной точки подставить в линейные неравенства. В качестве контрольной точки можно взять любую точку на плоскости, не принадлежащую граничной прямой, линейного неравенства. Если неравенство выполняется, то областью решения его является та полуплоскость, где лежит эта точка, если же неравенство не выполняется, то областью решения последнего является противоположная полуплоскость.

4. Найдем область решений системы ограничений задачи (рис.4).

Рисунок 4:.. Решение оптимизационных задач графическим методом

Областью решений системы ограничений задачи на плоскости является выпуклый многоугольник, который может быть замкнутым, либо открытым.

5. Построение линии уровня целевой функции

Уравнение целевой функции необходимо приравнять к любому произвольному значению, например к 0. Так в нашем случае С=4х1+2х2=0.

6. Построение направляющего вектора N.

Направляющий вектор показывает направление возрастания целевой функции. Он выходит из начала координат к координатами коэффициентов целевой функции N =  4;2. Направляющий вектор перпендикулярен линии уровня целевой функции.

7. Нахождение экстремальной точки.

Для нахождения экстремальной точки необходимо перемещать прямую C в направлении вектора N при нахождении максимума целевой функции и в противоположном направлении при отыскании минимума целевой функции, параллельно самой себе до тех пор, пока прямая не будет опорной.

Прямая считается опорной по отношению к выпуклому многоугольнику, если она расположена по одну сторону от него и имеют с ними хотя бы одну общую точку.

Из рис.4 видно, что вершина D многоугольника ABCDE (область решения системы линейных неравенств) является экстремальной точкой, в которой целевая функция С=4х1+2х2  max.

Точка максимума (минимума) находится на пересечении двух прямых. Для точного нахождения координат экстремальной точки необходимо решить систему уравнений, содержащую уравнения прямых при пересечении которых образована экстремальная точка. В нашем случае это прямые 2 и 3.

Точные координаты точки экстремума D(6;2).

8. Нахождение значения целевой функции в экстремальной точке.

Для нахождения значения целевой функции в найденной точке берут координаты экстремальной точки и представляют их в аналитическое выражение целевой функции:

C = 4х1 + 2х2 = 4*6 + 2*2 = 28

Cmax = 28

Хopt = {6;2}