Глава 2. Cходимость числовых рядов с неотрицательными членами
§ 2. Признаки сравнения для рядов с неотрицательными членами
Признаки сравнения позволяют свести решение вопроса о сходимости данного ряда к вопросу о сходимости другого более простого ряда или ряда, поведение которого уже выяснено.
Теорема 2.1 (признак сравнения в форме неравенства). Пусть имеются два ряда с неотрицательными членами
,
(2.1)
,
(2.2)
причём члены ряда (2.1) не превосходят соответствующих членов ряда (2.2):
0 an bn,
N. (2.3)
Тогда из сходимости ряда (2.2) следует сходимость ряда (2.1), а из расходимости (2.1) ряда следует расходимость ряда (2.2).
►Обозначим через
и
частичные суммы этих рядов. Из неравенства
(2.3) следует, что
,
N. (2.4)
Пусть ряд (2.2) сходится. Тогда
последовательность
ограничена, поэтому в силу (2.4) ограничена
и последовательность
.
Отсюда заключаем, в силу упомянутой
теоремы, что сходится и ряд (2.1).
Пусть ряд (2.1) расходится. Надо доказать, что ряд (2.2) также расходится. Предположим противное: этот ряд сходится. Тогда из вышепоказанного следует, что ряд (2.1) сходится. Полученное противоречие с условием расходимости этого ряда доказывает вторую часть теоремы. ◄
Пример 2.1. Доказать,
что
сходится.
►Имеем:
,
N.
Ряд
сходится, ибо это геометрический ряд
при
(пример 1.1, гл. 1). Тогда в силу теоремы
2.1 сходится и данный ряд.
Замечание 2.1. Теорема 2.1 остаётся справедливой, если неравенство (2.1) выполняется не для любого натурального n, а начиная с некоторого m >1 (следствие 1 из теоремы 3.1 гл. 1).
Теорема 2.2 (признак сравнения в предельной форме). Пусть члены рядов
(2.1) и (2.2) строго положительны, т.е. an 0, bn 0 для всех n N. Если
,
l 0,
l ,
то данные ряды сходятся или расходятся одновременно.
Замечание 2.1. Если
,
то можно лишь утверждать, что из сходимости
ряда
следует сходимость ряда
.
Замечание 2.2. Для
применения признаков сравнения надо
иметь арсенал «эталонных рядов», как
сходящихся, так и расходящихся, с которыми
сравниваются исследуемые ряды. Одним
из них является так называемый обобщённый
гармонический ряд
.
В §
3
будет
показано, что он сходится при 1
и расходится при 1.
Другим «эталонным» рядом является
геометрический ряд
,
сходящийся при |q| 1
и расходящийся при |q| 1
(пример 1.1).
Следствие
2.1
из
теоремы 2.2. Пусть
дан ряд
с положительными членами, причём
при
.
Если
при n ,
где С
– постоянное число, тогда рассматриваемый
ряд сходится при 1
и расходится при 0 ≤ 1
(здесь ~ является знаком эквивалентности).
Пример
2.3.
Исследовать
на сходимость ряд
.
►Имеем:
при n .
В этом случае 2 1,
следовательно, данный ряд сходится
(следствие 2.1).◄
§ 3. Интегральный признак Коши
Теорема
3.1
(интегральный
признак Коши).
Пусть функция f(x)
непрерывна, положительна и убывает при
x 1.
Тогда ряд
,
где an f(n)
для
nN,
и несобственный интеграл
либо оба сходятся, либо оба расходятся.
Пример 3.1. Исследовать
на сходимость обобщённый гармонический
ряд
в зависимости от значения параметра .
► Заметим, что при 0 общий член ряда не стремится к нулю с увеличением номера, следовательно, не выполняется необходимое условие сходимости ряда, поэтому в этом случае обобщённый гармонический ряд расходится.
При 1 получаем гармонический ряд, он расходится.
В
случае 0,
≠ 1
рассмотрим функцию
.
Легко проверить, что она удовлетворяет
при x 1
всем условиям теоремы 3.1. Исследуем на
сходимость несобственный интеграл
при данных значениях
.
1.
0 1
1 0
–
несобственный интеграл расходится и,
следовательно, рассматриваемый ряд
расходится при 0 1.
2.
1
1 0
,
поэтому несобственный интеграл сходится,
а вместе с ним сходится и обобщённый
гармонический ряд при указанных значениях
.
Итак, ряд
расходится при 1
и сходится при 1. ◄
Пример 3.2. Исследовать
сходимость ряда
.
►Пусть
.
Легко проверить, что функция f(x)
удовлетворяет всем условиям теоремы
3.1. Но интеграл
сходится.
Следовательно, сходится и данный ряд.◄