Свойства абсолютно сходящихся рядов

1. Сходимость не нарушается и сумма абсолютно сходящегося ряда не изменяется при произвольной перестановке его членов. Иначе говоря, для абсолютно сходящихся рядов справедлив переместительный закон сложения.

2. Два абсолютно сходящихся ряда можно перемножать как многочлены, т.е. каждый член одного ряда умножать на каждый член другого и результаты складывать в любом порядке; получающийся ряд тоже будет абсолютно сходящимся, и его сумма будет равна произведению сумм перемножаемых рядов.

3. Для абсолютно сходящегося ряда остается в силе свойство: «абсолютная величина суммы не превосходит суммы абсолютных величин слагаемых»: (для доказательства достаточно взять неравенство |a₁  a₂    a_n|  |a₁|  |a₂|   |a_n| и перейти в нём к пределу при n  ).

Условно сходящиеся ряды этими свойствами не обладают. Например, в рядах, сходящихся условно, перестановка членов ряда недопустима. Перестановка членов в таких рядах может изменить сумму ряда или привести к нарушению сходимости ряда. Например, выполним перестановку и объединение членов в сходящемся знакочередующемся ряде (2.6), обозначив его сумму через S:

=.

Теорема 2.3 (теорема Римана, Риман Г. (1826 – 1866) – немецкий математик). Каково бы не было наперёд заданное число А, перестановкой членов любого условно сходящегося ряда можно получить ряд, сходящийся к А. Члены условно сходящего ряда можно переставить и так, что он будет расходится.

Глава 4. Функциональные ряды. Степенные ряды

§ 1. Понятие функционального ряда, его области сходимости

Определение 1.1. Пусть функции u_n(x), nN, определены на множестве Х. Выражение вида

, , (1.1)

называется функциональным рядом. Если для числовой ряд сходится, то говорят, что ряд (1.1) сходится в точке x₀.

Если множество E X есть совокупность всех значений аргумента x, при которых ряд (1.1) сходится, то E называют областью сходимости этого ряда.

Отметим, что областью сходимости ряда (1.1) может оказаться числовое множество самого различного строения. В дальнейшем, как правило, мы будем иметь дело со случаями, когда областью сходимости ряда будет промежуток – замкнутый, открытый или полуоткрытый; конечный или бесконечный.

Нетрудно понять, что в области сходимости ряда (1.1) его n-я частичная сумма, а также сумма и сумма остатка ряда после n-го члена будут функциями от x. Будем обозначать их соответственно S_n(x), S(x), R_n(x), xE.

Пример 1.1.  . В этом примере X  (, ); E  (1; 1); .

Пример 1.2.  .

Здесь X  (, ); E  (1; 1];

Пример 1.3. . В этом примере X  (, ). Область сходимости ряда определяется неравенством x²  x  1  1, ибо ряд сходится при   1. Так как x² x  1  1  x²  x  0  x(x  1)  0, то E  (, 0)(1, ).

Пример 1.4. Найти область сходимости ряда .

►Очевидно, что при фиксированном xR этот ряд является геометрическим рядом со знаменателем q  1  x², причём q  1 при любых xR, следовательно, данный ряд расходится при любых xR, т. е. E  . ◄