§ 2. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал сходимости

Определение 2.1. Функциональный ряд вида

(2.1)

называется степенным рядом, числа a_n R, n  1, 2,  называются коэффициентами степенного ряда.

Замечание 2.1. Степенные ряды замечательны прежде всего тем, что их члены u_n(x)  a_n(x  x₀)ⁿ, n  1, 2, , являются сравнительно простыми функ-циями. Частичные суммы степенного ряда S_n(x) – многочлены от переменной х степени не выше п. Относительная простота u_n(x) и S_n(x) служит причиной мно-гих свойств, присущих степенным рядам, которыми не обладают другие функ-циональные ряды. Область сходимости степенного ряда никогда не является пустым множеством, поскольку ряд (2.1) обязательно сходится в точке x₀.

В ряде (2.1) сделаем замену переменной: y  x  x₀, получим ряд:

. (2.2)

Очевидно, что исследование сходимости ряда (2.1) эквивалентно исследованию сходимости ряда (2.2). Поэтому далее будем рассматривать ряды вида (2.2), но для обозначения переменной будем использовать букву x, а не y.

В основе теории степенных рядов лежит следующая теорема.

Теорема 2.1 (теорема Абеля). Если степенной ряд

(2.3)

сходится при x = x₀  0, то он сходится, и притом абсолютно, при x: |x|  |x₀|.

Если степенной ряд (2.3) расходится при x  x₀, то он расходится и при всяком x: |x|  |x₀|.

►Доказательство проведём в два этапа.

1) Пусть ряд (2.3) сходится в некоторой точке x₀, иными словами, сходится числовой ряд

. (2.4)

Общий член ряда (2.4) стремится к нулю при n  , и потому последовательность ограничена, т. е. существует такая постоянная M  0, что , n  1, 2,  .

В силу этого для общего члена ряда (2.3) получается следующая оценка:

.

Если |x|  _|x_0|, то ряд есть геометрический ряд со знаменателем , поэтому он сходится. Но тогда по признаку сравнения сходится и ряд , что означает абсолютную сходимость ряда (2.3) при |x|  _|x_0|.

2) Пусть теперь ряд расходится при некотором x  x₀. Но тогда он будет расходиться при любом x, удовлетворяющем условию |x|  _|x_0|. В самом деле, если бы при каком-либо x, удовлетворяющем этому условию, ряд (2.3) сходился, то в силу только что доказанной первой части теоремы он должен был бы сходиться в точке x₀, так как _|x_0|  |x|. Но это противоречит условию, что в точке x₀ ряд расходится. Следовательно, ряд расходится и в точке x.◄

Теорема Абеля позволяет судить о расположении точек сходимости и расходимости степенного ряда (2.3).

Следствие из теоремы 2.1. Пусть в точке x₀  0 ряд (2.3) сходится, но тогда ряд (2.3) сходится в каждой точке интервала ₍_|x_0|, _|x_0|). Если же ряд (2.3) расходится в точке x₁, то он расходится в интервалах ₍, _|x_1|), _(|x_1|, ₎.

И

Рис. 2.1. К понятию радиуса сходимости

степенного ряда

з этого можно заключить, что для рассматриваемого степенного ряда су-ществует число R  0, такое, что при |x|  R ряд абсолютно сходится, а при |x|  R ряд расходится. Число R называется радиусом сходимости, а интервал (R, R) называется интервалом сходимости степенного ряда.

Замечание 2.2. Для ряда (2.1) интервал сходимости имеет вид (x₀  R,   x₀  R).

Замечание 2.3. На концах интервала сходимости (т. е. при x  ±R для ряда (2.3), при x = x₀ ±R для ряда (2.1)) ряд может или сходиться или расходиться. Здесь необходимо дополнительное исследование.

Замечание 2.4. У некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку (R  0), а у других совпадает со всей осью (R  )

При нахождении радиуса сходимости степенного ряда во многих случаях можно использовать признаки сходимости для знакоположительных рядов.

Пример 2.1. Найти область сходимости ряда .

►Данный ряд является рядом с неортицательными членами. Применим к данному ряду, например, радикальный признак Коши. Так как

,

то ряд будет абсолютно сходиться, если

  .

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости. Пусть , тогда ряд расходится, так как его общий член не стремится к нулю. Таким образом, область сходимости ряда: .◄