Лабораторная работа № 3 Нахождение корней уравнения

1. Цель работы

Цель работы - научиться находить определенный результат для ячейки С с помощью подбора значения другой ячейки на примере полиномов различ­ных степеней.

2. Примеры решения задачи

Рассмотрим пример нахождения всей корней уравнения

х³ + 0.01x² - 0,7044х + 0,139104= 0.

Отметим, что у полиномов третей степени имеется не более трех вещественных корней. Для нахождения корней их предварительно нужно локализовать. Для этого постройте график функции или протабулируйте ее. Например, протабулируем наш полином на отрезке [-1, 1] с шагом 0,2. Результат табулирования приведен на рис. 6, где в ячейку В2 введена следующая формула:

= А2 ^ З - 0,01 * A2 ^ 2 - 0,7044 * A2 + 0, 139104.

Рис. 6. Локализация корней полинома

Из рис. 6 видно, что полином меняет знак на интервалах: [-1; -0,8], [0,2; 0,4] и [0,6; 0,8]. Это означает, что на каждом из них имеется корень данного полинома.

Найдем корни полинома методом последовательных приближений с помощью команды Сервис, Подбор параметра (Tools, Goal Seek). Относи тельная погрешность вычислений и предельное число итераций задаются на вкладке Вычисления диалогового окна Параметры, открываемого командой Сервис, Параметры

Задайте относительную погрешность и предельное число итераций, равным 0.00001 и 1000, соответственно.

В качестве начальных значений приближений к корням выберите любые точки из отрезков локализации корней. Например, их средние точки: -0,9, 03 и 0,7. Введите их в диапазон ячеек С2:С4. В ячейку D2 введите фор мулу

=С2 ^ 3 - 0,01 * С2 ^ 2 - 0,7044 * С2 + 0,139104.

Выделите эту ячейку и с помощью маркера заполнения протащите введенную в нее формулу на диапазон D2:D4. Таким образом, в данном диапазоне будет вычисляться значения полинома для всех начальных значений.

Выберите команду Сервис, Подбор параметра и заполните диалого­вое окно Подбора параметра (рис. 7).

Рис. 7. Диалоговое окно «Подбор параметра»

В поле Установить в ячейке введите D2. В этом поле дается ссылка на ячейку, в которую введена формула, вычисляющая значение левой части уравнения. В поле Значение введите 0 (в этом поле указывается правая часть уравнения). В поле Изменяя значения ячейки введите С2 (в этом поле дается ссылка на ячейку, отведенную под переменную).

Вводить ссылки на ячейки удобнее не с клавиатуры, а щелчком на соответствующей ячейке. При этом Excel автоматически будет превращать их в абсолютные ссылки.

После нажатия кнопки ОК средство подбора параметров находит приближенное значение корня, которое помешает в ячейку С2. Для рассмотрен­ного примера оно равно -0,92034. Вид диалогового окна Результат подбора параметра после успешного завершения поиска решения показан на рис 8.

Рис. 8. Диалоговое окно «Результат подбора параметра»

Аналогично в ячейках СЗ и С4 найдите два оставшихся корня

Варианты заданий

Найти все корни уравнения Таблица 2

		№
			x^3 – 2,92x^2 + 1,4355x + 0,791136 = 0
			x^3 – 2,56x^2 – 1,3251x + 4,395006 = 0
			x^3 + 2,84x^2 – 5,6064x – 14,766336 = 0
			x^3 + 1,41x^2 – 5,4724x – 7,3380384 = 0
			x^3 + 0,85x^2 – 0,4317x + 0,043911 = 0
			x^3 – 0,12x^2 – 1,4775x + 0,191906 = 0
			x^3 + 0,77x^22 – 0,2513x + 0,016995 = 0
			x^3 + 0,88x^2 – 0,3999x + 0,037638 = 0
			x^3 + 0,78x^2 – 0,8269x + 0,146718 = 0
			x^3 + 2,28x^2 – 1,9347x – 3,907574 = 0
11					[0,2; 1]		0,5472
12				[1; 2]		1,0769

Замечание. В вариантах 11 и 12 решается трансцендентное уравнение, которое имеет единственный корень на заданном отрезке. Поэтому локализация корней не требуется.