1.6.4. Переходная характеристика

Переходной характеристикой h(t) называют изменение во времени величины на выходе x_вых(t) при подаче на вход воздействия в виде заданной функции времени при нулевых начальных условиях.

В качестве входного воздействия часто рассматривают воздействие в виде единичной функции (рис.1.10)

Рис I.10. Временной график единичной функции воздействия

При этом предполагается, что все величины выражены в относительных единицах, т.е. отнесены к некоторым базовым значениям.

Переходные процессы, вызываемые 1(t), можно разбить на 3 вида (рис. 1.11):

1) монотонные, в которых первая производная не меняет знак (рис. 1.11, кривая 1);

2) колебательные периодические в которых производная меняет знак теоретически бесконечное число раз (рис. 1.11, кривая 2);

3) апериодические, происходящие без периодичности смены знака производной и имеющие ограниченное число экстремумов (рис. 1.11, кривая 3).

Рис I.11. Виды переходных процессов

Полагая x_вх(t)=1 и x_вых(t)=h(t), и учитывая, что изображением по Лапласу единичной функции является 1/p, получим из (1.9):

откуда

(1.14)

где L^-1 – символ обратного преобразования Лапласа.

Обратное преобразование Лапласа, позволяющее найти оригинал по известному изображению, удобно осуществить с помощью так называемой теоремы разложения. При этом, если учесть (1.10),

(1.15)

где K(0) и D(0) – соответственно K(p) и D(p) при p=0; p_k – корни уравнения D(p)=0; n – порядок характеристического полинома; .

В некоторых случаях в K(p) коэффициент b_o (см. (1.10)) бывает равным нулю. Применительно к этому случаю, переходная характеристика находится так

(1.16)

Примеры применения теоремы разложения приведены в разделе 2.2.

1.6.5. Частотные характеристики

Частотные характеристики применимы как к отдельному звену системы, так и к системе в целом.

Рис I.10. Линейная система под воздействие гармонического возмущения

С помощью частотных характеристик определяются частотные свойства системы. При этом имеется в виду, что воздействия имеют синусоидальный (гармонический) характер, и рассматривается установившийся режим.

Отношение установившегося значения синусоидальной величины на выходе к синусоидальной величине на входе, выраженное в символической (комплексной) форме при заданной частоте ω_k (см. рис. 1.10), называется комплексным коэффициентом передачи для частоты ω_k.

где – синусоидальное воздействие на входе; – синусоидальная величина на выходе; – модуль комплексного коэффициента передачи; – аргумент комплексного коэффициента передачи; – заданная частота синусоидальных колебаний.

Если изменять частоту колебаний на входе, то в зависимости от частотных свойств системы будут соответствующим образом меняться амплитуда и фаза колебаний на выходе, т.к. будет меняться комплексный коэффициент передачи.

Зависимость комплексного коэффициента передачи от частоты называется комплексной частотной функцией:

(1.17)

Функция W(jω) легко может быть получена из выражения передаточной функции, если в (1.8) положить p=jω, т.е.

(1.18)

Комплексную частотную функцию часто представляют графически в комплексной плоскости (рис. 1.11) в виде годографа вектора комплексной частотной функции, который также называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой. Каждая точка амплитудно-фазовой частотной характеристики соответствует определенному значению частоты.

Рис I.11. Амплитудно-фазная частотная характеристика

Характеристика линейной системы, представляющая собой модуль комплексной частотной функции, называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ):

(1.19)

Характеристика линейной системы, представляющая собой аргумент комплексной частотной функции, называется фазочастотной характеристикой (ФЧХ):

(1.20)

Если в (1.17) выделить вещественную и мнимые части, то получится еще две частотные характеристики: соответственно вещественная (ВЧХ) и мнимая (МЧХ):

Между частотными характеристиками имеют место очевидные соотношения, характерные для комплексных величин, например:

Все частотные характеристики могут быть изображены графически. При этом A(ω), (ω), U(ω), V(ω) изображаются в декартовых координатах, а W(jω) – в комплексной плоскости.

Пример. Составить аналитических выражений комплексной частотной функции, АЧХ и ФЧХ элементов САУ, имеющих передаточные функции:

а)

б)

Решение:

а) – комлексная частотная функция.

Для нахождения других характеристик необходимо выделить в комплексной чатотной функции вещественную и мнимую части:

.

б) Делая такие же операции со второй функцией получаем следующие ответы:

;

;

.