- •Теория автоматического управления
- •Глава 1. Основные понятия и определения
- •1.1. Система автоматического управления (регулирования)
- •XI(t) – управляемая величина; qi(t) – возмущающее воздействие;
- •1.3. Ошибка регулирования и отклонение
- •1.4. Статическое и астатическое регулирование
- •1.6. Основные характеристики сау и ее звеньев
- •1.6.1. Передаточная функция
- •1.6.2. Коэффициент передачи
- •1.6.3. Статическая характеристика. Коэффициент статизма
- •1.6.4. Переходная характеристика
- •1.6.5. Частотные характеристики
- •1.7. Уравнения статики и динамики
- •1.7.1. Общие замечания
- •1.7.2. Уравнения статики
- •1.7.3. Уравнения динамики
1.7.3. Уравнения динамики
Переходные процессы в САУ определяются инерционностью (наличием массы, индуктивности, емкости) и аналитически могут быть описаны дифференциальными уравнениями вида (1.6),
где ai,bi – постоянные коэффициенты, решения которых состоят из двух частей: общего и частного.
Общее соответствует решению однородного дифференциального уравнения
|
(1.26) |
Частное решение, будучи подставленным в левую часть уравнения (1.6), обращает его в тождество.
Общее решение определяет свободный процесс (свободное движение), под которым понимается изменение величины во времени при отсутствии внешних воздействий и ненулевых начальных условиях. Вид свободного процесса определяется только свойствами системы.
Частному решению соответствует вынужденный процесс, вид которого определяется как свойствами системы, так и видом воздействия.
Итак, полное решение уравнения (1.6) имеет вид:
|
(1.27) |
где xвых.с(t) – свободный процесс, xвых.в(t) - вынужденный процесс.
Пример переходного процесса представлен на рис. 1.14.
|
Рис. 1.14. Графическая интерпретация вынужденной и свободных составляющих на примере включения электрической цепи с активным и индуктивным сопротивлениями (T = L / R) |
Для анализа устойчивости системы необходимо знать свободный процесс (), который может быть представлен в виде
(1.28) |
где n – порядок дифференциального уравнения;
Ск – постоянные интегрирования;
pк – корни уравнения
|
(1.29) |
Уравнение (1.30) называется характеристическим. С учетом (1.8) оно может быть представлено в обобщенном виде
|
(1.30) |
Корни характеристического уравнения могут быть вещественными или комплексно-сопряженными (в частных случаях мнимыми или нулевыми).
Каждому вещественному корню в (1.28) соответствует слагаемое, изменяющееся по экспоненциальному закону. Например, если pk=-αk, то соответствующее слагаемое в (1.26) имеет вид
|
(1.31) |
При -αk > 0 экспонента (1.31) возрастающая, а при -αk < 0 – затухающая (рис. 1.15).
-αк > 0 |
а) |
-αк < 0 |
б) |
Рис I.15. Графики свободной составляющей процесса, характеристическое уравнение которого имеет только вещественный корень -αк |
Каждой паре комплексно-сопряженных корней
pk,k+1 =-αk ± jωk в (1.26) соответствует слагаемое вида
(1.32) |
где Ak и ψk – начальная амплитуда и начальная фаза свободных колебаний, определяемые начальными условиями; ωk – мнимая часть комплексного корня, определяющая частоту свободных колебаний;
-αk – вещественная часть комплексного корня, определяющая затухание (-αk < 0) или усиление (-αk > 0) амплитуды свободных колебаний.
В частном случае при pk,k+1=jωk (αk=0) свободные колебания (1.32) имеют неизменную амплитуду.
– αк > 0 – αк < 0 – αк = 0
|
Рис I.16. Графики свободной составляющей процесса, характеристическое уравнение которого имеет комплексно-сопряженные корни -αk ± jωk |
Итак, если все корни характеризующего уравнения имеют отрицательную вещественную часть, то свободный процесс является затухающим.
Вынужденный процесс при t=∞ (p=0) определяет установившийся режим. Из (1.5) следует:
т.е.
где kn – коэффициент передачи системы.
Можно также показать, что при синусоидальном воздействии вынужденный процесс представляет собой синусоидальную функцию с той же частотой, но с другими амплитудой и фазой.