1.7. Уравнения статики и динамики

1.7.1. Общие замечания

На различных интервалах времени САУ может находиться в состоянии покоя, в котором все величины не меняют своих значений, либо переходить от одного состояния покоя к другому.

Рис I.12. Переходный и установившийся режимы

Для некоторых САУ состояние покоя является невозможным. Такие САУ называются неустойчивыми.

Состояние покоя обычно называют установившимся режимом или состоянием установившегося равновесия, а переход от одного состояния покоя к другому – переходным режимом (процессом). Переходный процесс может быть обусловлен изменением одного или нескольких воздействий (рис. I.12).

Для исследования поведения системы необходимо математическое описание ее в виде уравнений. Различают уравнения статики и динамики. Уравнения статики характеризуют состояние покоя системы и по форме являются алгебраическими. Уравнения динамики отражают изменения величин во времени в переходном режиме и являются дифференциальными.

Для составления уравнения исследуемой системы во многих случаях удобно условно разделить ее на ряд элементов (звеньев) и составить уравнения для всех этих элементов. В этом случае одно уравнение исследуемой системы будет заменено системой уравнений. Естественно, что если в этой системе уравнений исключить все промежуточные переменные, то будет получено одно уравнение.

Значения величин, входящих в уравнение в виде переменных, обычно называют обобщенными координатами системы.

Уравнения элементов составляются на основе физических законов, определяющих в них процессы, наиболее существенные для функционирования САУ.

Необходимо иметь в виду, что теория автоматического управления рассматривает общие свойства САУ, отвлекаясь от их физической природы и используя только математическое описание законов передачи и преобразования вводимых в САУ и циркулирующих в них воздействий. Такое абстрагирование достигается путем использования относительной системы координат.

Относительная координата представляет собой безразмерную величину, что упрощает исследование САУ и позволяет сравнивать системы и элементы, имеющие различную физическую сущность.

Как указывалось в 1.5, большинство реальных САУ могут быть описаны линейными уравнениями, если их составить для малых отклонений обобщенных координат от значений, соответствующих исходному состоянию покоя. Такие уравнения называют уравнениями в отклонениях.

1.7.2. Уравнения статики

Необходимость в уравнениях статики обычно возникает тогда, когда требуется рассчитать либо значения обобщенных координат, либо отклонение управляемой величины от предписанного значения в установившемся режиме.

Для линейных САУ расчет значений обобщенных координат в установившемся режиме легко осуществятся по структурной схеме, если известны значения коэффициентов передачи всех элементов, входящих в систему.

Рис. 1.13. Пример структурной схемы САУ

Например, для САУ структурная схема которой представлена на рис.1.13., может быть составлено уравнение статики

Это уравнение может быть записано в отклонениях

(1.21)

где – значения обобщенных координат в исходном состоянии покоя, принятые за базовые.

Каждое из воздействий q₁ и q₂ вызывает отклонение величины x соответственно

(1.22)

(1.23)

С помощью (1.23) и (1.24) можно определить коэффициенты статизма:

• относительно воздействия q₁

(1.24)

• относительно воздействия q₂

(1.25)

Знак (-) в (1.24) указывает на то, что с увеличением q₁ значение x уменьшается (предполагается, что коэффициенты k₁, k₂, k₃ положительные). Обычно при определении коэффициента статизма этот знак опускается.

Учитывая, что использование относительной системы координат в теории автоматического управления является общепринятым, в дальнейшем будем полагать, что во всех математических выражениях и на структурных схемах все величины представлены в относительных единицах.