Задание.

1. Проинтерпретируйте смысл определений односторонних доверительных границ.

2. Докажите, что критерий, построенный по –доверительному множеству, имеет уровень .

Методы построения.

I. Метод опорной функции. Пусть для некоторой статистики существует монотонное по параметру преобразование G (t, ) (так называемая опорная функция), для которого функция рас­пре­де­ле­ни­я не зависит от . Тогда, выбирая  из со­от­но­ше­ния и разрешая неравенство относительно при полученном экспериментальном значении статистики , получаем ве­рхнюю или нижнюю (в зависимости от направления монотонности G) до­ве­ри­тель­ную границу для .

Этот метод применяется при построении доверительных границ для среднего значения и дисперсии нормального распределения.

II. Метод, основанный на функции распределения оценки. Пусть распределение статистики неп­ре­­­рыв­но убывает с ростом пара­мет­ра . Тогда, если экспериментальное значение статистики T=t, то значение нижней (1-)-дове­рительной границы можно получить как решение уравнения . Ве­р­хняя (1-)-дове­рительная граница получается как решение уравнения .

Этот метод применяется при построении доверительных границ для вероятности наблюдаемого события.

2. Метод, основанный на асимптотическом распределении оценок. Этот метод близок к первому методу. Если известно асимптотическое распределение некоторой статистики , то, оценив мешающие параметры, можно построить опорную функцию, предельное распределение которой не будет зависеть от неизвестных параметров. Далее, поступая как и в методе I, можно построить доверительную границу для неизвестного параметра. Надежность такого доверительного утверждения с ростом объема выборки будет приближаться к номинальной надежности Q.

Этот метод также применяется при построении доверительных границ для вероятности наблюдаемого события.

Задание 11. Построить интервальную оценку для среднего значения нормального распределения.

Постановка задачи.

Имеется выборка из нормального распределения. Требуется построить 95%-доверительный интервал (верхнюю границу, нижнюю границу) для неизвестного среднего этого распределения.

Теоретические основы.

Пусть - выборочное среднее, - выборочная дисперсия, вычисленные по выборке из нормального распределения со средним и дисперсией . Опорная функция

монотонно убывает по и имеет распределение Стьюдента с (n-1)-ой степенью свободы (см. введение). Пусть - верхняя -квантиль рас­пре­де­ле­ния (то есть, решение уравнения ), тогда с надежностью (1-)·100%

а) - нижняя дове­рительная граница для сред­не­го;

б) - верхняя дове­рительная граница для сред­не­го.

Как видно из формул для доверительного интервала, ширина этого интервала пропорциональна отношению . Это отношение называется стандартной ошибкой среднего, обозначается обычно буквой и весьма оригинально читается – “эм малое”. В медицинской практике принято результаты вычислений записывать в виде , где первое слагаемое есть среднее арифметическое , а второе слагаемое – ошибка среднего .

Квантиль распределения чаще всего находят по таблицам. Во введении мы нашли, что при объеме выборки верхняя 95%-ая квантиль распределения Стьюдента равна . Эту константу применяют для построения любой односторонней 95%-доверительной границы при 20 наблюдениях. Для построения двухстороннего 95%-доверительного интервала применяется константа .