Задание 3. Эмпирическая функция распределения.

Постановка задачи.

Построить график эмпирической функции распределения с подогнанной ожидаемой функцией распределения.

Теоретические основы.

† Эмпирическая функция распределения:

Она служит оценкой истинной функции распределения и представляет собой возрастающую от 0 до 1 ступенчатую функцию. Изменения происходят скачком в точках x, совпадающих с каким-либо выборочным значением x_i. Высота этого скачка равна числу выборочных данных, равных x_i, поделенному на общий объем выборки n. Внутри любого интервала значений x, не содержащего выборочных данных, функция остается неизменной.

В отличие от гистограммы, ЭФР является достаточной статистикой, то есть сохраняет всю полноту информации выборки. Кроме того, при увеличении объема выборки она сходится к истинной функции распределения :

.

(*)

Другими словами, она является состоятельной оценкой . Легко показать, что ЭФР также и несмещенная оценка .

Для построения ЭФР необходимо сначала построить так называемый вариационный ряд – ряд упорядоченных выборочных данных . Обратим внимание здесь на различие в написании индексов в исходной выборке x_i и в вариационном ряду x_(j). В первом случае индекс указывает на номер в порядке поступления выборочного значения, а во втором случае – на его ранг, то есть на место, которое это значение занимает в ранжированном по возрастанию ряду выборочных данных. Следовательно, всегда x₍₁₎ – минимальное значение выборки, x_(n) – её максимальное значение при объеме выборки n. Для значений x, попадающих в интервал между k-ым и (k+1)-ым значениями вариационного ряда, – , ЭФР . В частности, заметим, что если , то .

В качестве примера рассмотрим ЭФР, построенную по 6 данным, среди которых -1 встречается два раза, 1 – три раза, а 4 – один раз. График ЭФР будет выглядеть следующим образом

Как и при построении гистограммы, график ЭФР полезно сравнить с графиком предполагаемого распределения (например, нормального). При этом некоторую информацию о степени достоверности этого распределения – правильности выдвинутого предположения о виде распределения – будет нести величина расхождения D, вычисленная по формуле (*). Неизвестные параметры модели можно оценить по выборке. В нормальной модели среднее оценивается выборочным средним , а дисперсия – выборочной дисперсией . Для показательного закона интенсивность отказа также может быть оценена посредством .

Если бы предполагаемое распределение было известно полностью и не надо было оценивать неизвестные параметры, то на основе значений D можно было бы построить критерий проверки адекватности этого распределения выборочным данным – так называемый критерий Смирнова (см., например, сборник таблиц [1]). Применять этот критерий к моделям с неизвестными параметрами нельзя, поскольку вероятность ошибки 1-го рода такого критерия будет зависеть от неизвестных параметров.

3. Проверка гипотезы о типе распределения

Здесь описывается наиболее популярный метод проверки согласия выборочных данных с гипотезой о типе распределения.