3. Методика выполнения расчетно-графической работы

3.1. Построение проекций заданных поверхностей

В расчетно-графической работе поверхности заданы определителем (варианты задания в приложении): для наклонного конуса – это окружность основания и вершина; для наклонного цилиндра – две окружности оснований; для линейчатых поверхностей Каталана – это две направляющие (отрезки прямых или дуги кривых) и плоскость параллелизма; для поверхностей вращения (тора и однополостного гиперболоида) – это ось вращения и образующая (окружность для тора и отрезок прямой для гиперболоида).

Для наглядности изображения поверхности вычерчивают очерк поверхности, несколько положений образующей, характерные линии (например, оси цилиндра и конуса, центровую линию тора). Очерк поверхности – это граница изображения поверхности на плоскости проекций.

На рисунке 8 построены проекции наклонного цилиндра с окружностями оснований, расположенными во фронтальных плоскостях уровня, с центрами в точках O и O^/. Очерковые образующие наклонного цилиндра на фронтальной плоскости проекций касаются проекций окружностей оснований (для этого проведены вспомогательные отрезки перпендикулярно прямой, проходящей через центры оснований цилиндра), на горизонтальной плоскости проекций очерковые образующие проходят через крайние левые точки (1 и 1^/) и крайние правые (2 и 2^/) окружностей оснований. Очерковыми образующими производится разграничение видимой и невидимой частей поверхности на проекциях.

Рис. 8

Алгоритм решения данного задания предусматривает построение недостающих проекций точек поверхности и определения их видимости на поверхности. Точки, принадлежащие линейчатым поверхностям, могут быть построены при помощи проходящих через них образующих. На П₂ видимы точки цилиндра, принадлежащие образующим, проходящим через точки полуокружности основания 3–2–4. На П₁ видимы точки цилиндра, принадлежащие образующим, проходящим через точки полуокружности основания 1–4–2.

Очерковые образующие наклонного конуса, заданного вершиной S и окружностью основания, принадлежащей плоскости проекций П₁ (рис. 9), на плоскости проекций П₁ касаются окружности основания в точках 3 и 4. Точки касания построены с помощью вспомогательной окружности диаметром, равным длине отрезка [O₁S₁]. На П₂ видимы точки конуса, принадлежащие образующим, проходящим через точки полуокружности основания 1–3–2. На П₁ видимы точки конуса, принадлежащие образующим, проходящим через точки дуги окружности основания 3–1–4.

Рис. 9

На рис. 10 дан чертеж косой плоскости (гиперболического параболоида) с плоскостью параллелизма П₂ и направляющими прямыми m(КМ) и t(LN).

Рис. 10

Начинают построение с горизонтальных проекций образующих, параллельных оси проекций x₁₂. Очерк горизонтальной проекции составляют проекции отрезков направляющих [КМ] и [LN] и крайних образующих [КL] и [МN]. На плоскости проекций П₂ построение образующих начинают с ближней (KL), потом строят следующую за ней (1; 2). Семейство образующих составляет каркас поверхности. Если учесть непрерывность перемещения образующей, а следовательно, непрерывность и самой поверхности, то каркас получается непрерывным. Поверхность косой плоскости непрерывна между образующими, поэтому образующая (3; 4), расположенная за частью поверхности между образующими (KL) и (1; 2), обводится с учетом видимости относительно неё, следующая образующая (5; 6) расположена за частями поверхности между образующими (KL), (1; 2) и (1; 2), (3; 4) и т.д. На плоскости проекций П₂ в состав очерка входит огибающая семейства образующих. Для гиперболического параболоида огибающая состоит из отрезков проекций прямолинейных образующих, аппроксимирующих параболу. Если рассматривать гиперболический параболоид как поверхность переноса, то огибающая парабола является проекцией направляющей, по которой перемещается вторая парабола – образующая.

Д

Рис. 11

ля коноида и цилиндроида в качестве направляющих заданы дуги окружности или эллипса. Для эллипса по условию известно положение большой и малой оси (на рис. 11 [HI] и [FG]). Промежуточные точки эллипса можно построить с помощью двух концентрических окружностей, построенных на осях как на диаметрах. Из центра эллипса О проводят луч (OM). Через точку пересечения луча с большой окружностью M проводят прямую (ML), параллельную малой оси, через точку пересечения с малой окружностью K – прямую (KL), параллельную большой оси. Точка их пересечения L – точка эллипса.

Этим приемом удобно определять аппликаты (или ординаты) точек полуэллипса по заданным абсциссам (рис. 12). Ход построения показан стрелками: L₁→K→M→L₂.

Рис. 12

На рис. 13 построен цилиндроид, заданный определителем: направляющей дугой полуокружности (K,M,L), направляющей дугой полуэллипса с малой осью FG и большой полуосью ОН и плоскостью параллелизма , перпендикулярной плоскости проекций П₁. На плоскости проекций П₁ образующие поверхности Каталана параллельны горизонтальному следу проецирующей плоскости параллелизма. На фронтальной плоскости проекций видимость образующих и направляющего полуэллипса определяется из условия непрерывности поверхности между впереди расположенными образующими – начинают построения с образующей (LG), заканчивают (KF).

Рис. 13

Коноид на рис. 14 задан направляющей прямой КМ, направляющей дугой полуэллипса с малой осью FG и большой полуосью HO, плоскостью параллелизма П₁. Фронтальные проекции образующих параллельны оси проекций x₁₂. На горизонтальной плоскости проекций начинают построения с образующей (МG), заканчивают (KF). Видимость образующих и направляющего полуэллипса определяется из условия непрерывности поверхности коноида между вышерасположенными образующими.

Рис. 14

Для поверхностей вращения с проецирующими осями вращения все параллели проецируются без искажения на плоскость проекций, относительно которой ось перпендикулярна. Очерк на этой плоскости проекций состоит из проекций параллелей наибольшего и наименьшего радиуса. Их описывают наиболее удаленная и ближайшая к оси точки образующей. На вторую плоскость проекций параллели проецируются в виде отрезков, перпендикулярных проекции оси. Очерк составляют проекции главных меридианов, которые проецируются без искажения, и проекции параллелей, проходящих через крайние точки образующих.

Недостающие проекции точек, принадлежащих поверхности вращения, строят при помощи параллелей.

На рис. 15 показан открытый тор с осью вращения i, перпендикулярной плоскости проекций П₂ и проходящей через точку I, и образующей окружностью радиусом R с центром в точке О. Образующая окружность на П₂ проецируется в отрезок [К₂М₂], принадлежащий следу плоскости главного меридиана ₂, на П₁ – в окружность.

Рис. 15

Очерк фронтальной проекции тора составляют проекции горла (параллель в точке К) и экватора (параллель в точке М). Окружность, по которой перемещается центр образующей окружности О, называют центровой линией тора, её проекции обводят тонкой штрихпунктирной линией. На горизонтальной плоскости проекций очерк определяют проекции параллелей в точках L и N (их называют полярными) и главных меридианов – полуокружностей.

Поверхность тора с осью вращения i, перпендикулярной плоскости проекций П₁ и проходящей через точку I, и образующей окружностью радиусом R с центром О построена на рис. 16.

Рис. 16

На рис. 17 показан однополостный гиперболоид вращения с осью вращения i, перпендикулярной плоскости проекций П₂ и проходящей через точку I, и отрезком образующей [КМ]. Прежде всего найден радиус горла поверхности. Для этого проведен перпендикуляр (I₂C₂) к фронтальной проекции образующей [К₂М₂]. Этим определена фронтальная проекция общего перпендикуляра к оси и образующей. Величина отрезка [I₂C₂] равна радиусу горла. Далее точки К, М и C повернуты вокруг оси до совмещения с плоскостью главного меридиана , на следе ₂ отмечают их новые проекции: точки 1₂, 2₂, 3₂, 4₂, 5₂, 6₂. Затем строят горизонтальные проекции этих точек: 1₁, 2₁, 3₁, 4₁, 5₁, 6₁.

Рис. 17

Фронтальный очерк составляют проекции горла t (параллели в точке C) и параллели наибольшего радиуса в точке К. На плоскости проекций П₁ очерк однополостного гиперболоида вращения определяют проекции крайних параллелей в точках К и М и главных меридианов – ветвей гиперболы с вершинами в точках 5₁ и 6₁. Для более точного построения очерка на П₁ построены параллели в произвольно выбранных на образующей точках D и E.