3.2. Пересечение кривой линии с поверхностью

Алгоритм решения задачи по нахождению точек пересечения кривой с поверхностью следующий:

1. через кривую проводят вспомогательную секущую поверхность – цилиндрическую, для которой направляющей является заданная кривая l, прямолинейные образующие перпендикулярны одной из плоскостей проекций; на рис. 18 через кривую проведена горизонтально проецирующая цилиндрическая поверхность Φ, её горизонтальная проекция совпадает с горизонтальной проекцией кривой (l₁Φ₁); образующие поверхности Ψ перпендикулярны фронтальной плоскости проекций (l₂Ψ₂);

Рис. 18

2. строят линию пересечения вспомогательной и заданной поверхностей; одна из проекций линии пересечения совпадает с соответствующей проекцией вспомогательной поверхности, вторую проекцию строят из условия принадлежности линии пересечения заданной поверхности; для этого отмечают характерные точки (точки, принадлежащие очеркам), промежуточные точки, и строят их с помощью прямолинейных образующих для линейчатой поверхности или параллелей для поверхности вращения;

3. точки пересечения построенной линии с заданной кривой есть искомые точки.

Построение точек пересечения кривой линии и поверхности открытого тора показано на рис. 19:

1. через заданную линию проводят вспомогательную цилиндрическую поверхность;

2. строят линию пересечения вспомогательной секущей поверхности и тора; линия пересечения представляет собой две замкнутые пространственные кривые;

3. в пересечении этих двух построенных кривых с заданной кривой получают четыре точки, которые и являются искомыми точками пересечения заданных поверхности тора и кривой.

Если точка пересечения принадлежит видимой части поверхности, то видима и кривая, пересекающая поверхность в этой точке, и наоборот.

Н

Рис. 19

а рис. 20 показано решение задачи по построению точек пересечения линии l и поверхности открытого тора с осью вращения i, перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций, на двухкартинном чертёже.

Через заданную линию проводят вспомогательную цилиндрическую поверхность Φ, образующие которой перпендикулярны плоскости проекций П₁. На плоскости П₁ получают l₁Φ₁. Горизонтальная проекция линии пересечения совпадает со следом Φ₁.

Рис. 20

На плоскости П₁ отмечают точки 1₁…5₁ и 6₁…10₁. Обязательно построение характерных точек: точки 1 и 10 принадлежат экватору, точки 5 и 6 горлу, точки 3 и 8 принадлежат полярным параллелям. Промежуточные точки 2, 4, 7, 9 необходимы для более точного построения проекций линии пересечения.

На плоскости П₂ строят точки 1₂…5₂, 6₂…10₂ и им симметричные относительно горизонтальной плоскости симметрии тора . Для этого используют каркас параллелей тора.

Линия пересечения распадается на две замкнутые кривые, которые на П₂ обводят с учетом видимости. В пересечении фронтальных проекций построенной линии и заданной линии l получают четыре точки P₂, R₂, S₂, T₂, которые и являются фронтальными проекциями искомых.

Видимость линии определяется исходя из видимости точек пересечения на плоскостях проекций. Видимость точек пересечения устанавливается из принадлежности их видимой или невидимой части тора. На П₂ видима точка P. Она принадлежит внешней части передней половины тора (заштрихована на П₁). Невидимы точки R, S, T. На П₁ невидимы точки P, R и видимы точки S, T. Точки S и T принадлежат верхней части тора (заштрихована на П₂). Если точка невидима, то по обе стороны от неё проекции кривой тоже невидимы. В видимой точке пересечения видимость кривой меняется. Если начать обводить кривую l с невидимой точки, то будет понятно, слева или справа от видимой точки видима заданная линия. Или решать вопрос видимости с помощью конкурирующих точек.

Решение предыдущей задачи с помощью вспомогательной цилиндрической поверхности , образующие которой перпендикулярны фронтальной плоскости проекций, показано на рис. 21.

На плоскости П₂ получают l₂Φ₂. Строят линию пересечения вспомогательной фронтально проецирующей поверхности  и тора. Фронтальная проекция линии пересечения совпадает со следом Φ₂. На плоскости П₂ отмечают точки 1₂…10₂. На плоскости П₁ строят точки 1₁…10₁. Для этого используют каркас параллелей тора.

Линия пересечения распадается на две замкнутые кривые, которые проходят через точки 1…7 и 8…10 и им симметричные относительно плоскости Δ. На П₁ линию пересечения обводят с учетом видимости. В пересечении горизонтальных проекций построенной линии и заданной линии l получают четыре точки P₁, R₁, S₁, T₁, которые и являются горизонтальными проекциями искомых. Определение видимости линии смотри пример выше.

Рис. 21

На рис. 22 построены проекции точек пересечения наклонного цилиндра с окружностями оснований, расположенными в горизонтальных плоскостях уровня, с кривой l. Через заданную линию проводят вспомогательную цилиндрическую поверхность , образующие которой перпендикулярны одной из плоскостей проекций (в данном примере П₁).

Рис. 22

На плоскости П₁ получают l₁Φ₁. Строят линию пересечения вспомогательной горизонтально проецирующей поверхности  и цилиндра. Горизонтальная проекция линии пересечения совпадает со следом Φ₁. На плоскости П₁ отмечают точки 1₁…9₁. Обязательно построение характерных точек: точки 1 и 5 принадлежат очерковым образующим на П₁, точки 4 и 8 очерковым образующим на П₂. Остальные точки необходимы для более точного построения проекций линии пересечения. На плоскости П₂ строят точки 1₂…9₂. Для этого используют прямолинейные образующие цилиндра.

Линия пересечения – замкнутая кривая, которую на П₂ обводят с учетом видимости. В пересечении фронтальных проекций построенной линии и заданной линии l получают две точки P₂, T₂, которые и являются фронтальными проекциями искомых.

Видимость точек пересечения устанавливается из принадлежности их видимой или невидимой части цилиндра. Точка T принадлежит образующей, проходящей через точку V основания. Образующая и, следовательно, точка на П₂ видимы, на П₁ невидимы. Точка P принадлежит образующей, проходящей через точку W основания. На П₁ образующая и точка видимы; на П₂ невидимы.

Для нахождения точек пересечения кривой l и наклонного конуса, заданного вершиной S и окружностью основания, принадлежащей плоскости проекций П₁ (рис. 23), применен тот же алгоритм, что и в предыдущей задаче.

На плоскости П₁ отмечают точки 1₁…7₁. Обязательно построение характерных точек: точки 1 и 7 принадлежат окружности основания, точка 5 принадлежит очерковой образующей на П₁, точки 2 и 6 очерковым образующим на П₂. Остальные промежуточные точки необходимы для более точного построения проекций линии пересечения. На плоскости П₂ строят точки 1₂…7₂. Для этого используют прямолинейные образующие конуса. Линия пересечения – незамкнутая кривая, которую на П₂ обводят с учетом видимости. В пересечении фронтальных проекций построенной линии и заданной линии l получают две точки P₂, T₂, которые и являются фронтальными проекциями искомых.

Видимость точек пересечения устанавливается из принадлежности их видимой или невидимой части конуса. Точка P принадлежит образующей, проходящей через точку V окружности основания. Образующая и, следовательно, точка на П₁ и П₂ видимы. Точка T принадлежит образующей, проходящей через точку W. На П₁ образующая и точка видимы; на П₂ невидимы.

Рис. 23