- •Вопрос 1. Классификация моделей
- •Вопрос 2 Классификация математических моделей Классификация математических моделей
- •Вопрос 3.Решение нелинейных уравнений. Графический метод.
- •Вопрос 4. Решение нелинейных уравнений. Метод деления отрезка пополам
- •Вопрос 5. Решение нелинейных уравнений. Метод хорд
- •Вопрос 6. Метод касательных
- •Вопрос 7.Метод Крамера.
- •Вопрос 8. Формула прямоугольников.
- •Вопрос 9. Формула трапеций.
- •Вопрос 10. Метод Монте-Карло.
- •Вопрос 11. Приближение функций, основные понятия и определения.
- •Примеры
- •Вопрос 12. Приближение функций, метод наименьших квадратов
- •Приближение функции с использованием метода наименьших квадратов Определение коэффициентов линейной регрессии с помощью решающего блока
- •Вопрос 13. Численное дифференцирование. Основные понятия, геометрическая интерпретация. Вторая производная. Метод Эйлера
- •Вопрос 14. Численное дифференцирование. Задача Коши. Численное дифференцирование с использованием формулы Тейлора
- •Использование формулы Тейлора
- •Вопрос 15. Численное дифференцирование. Метод Эйлера-Коши
- •Вопрос 16. Метод деления пополам.
- •Вопрос 17. Метод золотого сечения. Принцип золотого сечения Основной принцип золотого сечения отражен в следующем соотношении:
- •Метод золотого сечения
- •Вопрос 18 Понятие об оптимизации. Метод Фибоначчи Метод чисел Фибоначчи
- •Алгоритм
Вопрос 8. Формула прямоугольников.
f(x)
a b x
Разобьем отрезок [a;b] на n равных участков (с шагом h=). Геометрически площадь криволинейной фигуры можно заменить площадью прямоугольника. Тогда
Вопрос 9. Формула трапеций.
f(x)
a b x
Разобьем отрезок [a;b] на N равных участков (с шагом h=). Геометрически площадь элемента криволинейной фигуры можно подменить площадью трапеции.
Вопрос 10. Метод Монте-Карло.
Метод основан на использовании результатов статистических испытаний. С помощью датчика случайных чисел получаем последовательность чисел Xi (i = 1…n) в интервале [a,b]. x принадлежит [0,1]
f(x) в точке b известно, аналогично можно получить значения случайных чисел по оси Y.
где yi – последовательность случайных чисел, равномерно распределенных в интервале [0,1].
Каждая пара испытаний определяет одну точку на поверхности (a,b,f(b),c).
Для каждой точки n(xn, yn) проверяется условие
,
Каждая лежащая под кривой точка запоминается.
При достаточно большом количестве испытаний отношение количества точек под кривой Np к общему количеству точек No будет пропорционально соотношению площади под кривой a,b,f(b),f(a) к площади прямоугольника a,b,f(b),c. Тогда
Вопрос 11. Приближение функций, основные понятия и определения.
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
экстремальные задачи на классах функций - задачи, связанные с отысканием верхней грани погрешности приближения на фиксированном классе функций и с выбором для него наилучшего в том или ином смысле аппарата приближения.
Теория приближений — раздел математики, изучающий вопрос о возможности приближенного представления одних математических объектов другими, как правило более простой природы, а также вопросы об оценках вносимой при этом погрешности. Значительная часть теории приближения относится к приближению одних функций другими, однако есть и результаты, относящиеся к абстрактным векторным или топологическим пространствам.
Теория приближений активно используется при построении численных алгоритмов, а также при сжатии информации.
Примеры
-
Вместо вычисления точного значения функции sinx при малых x можно воспользоваться самим x, то есть . Чем больше будет x, тем больше будет погрешность такого приближения.
-
Чтобы запомнить некоторую функцию можно запомнить ее значения в некоторых точках (говорят: на сетке), а в остальных точках вычислять ее по какой-нибудь интерполяционной формуле. Вопрос об оптимальном выборе (для конкретной функции или для функций из какого-то класса) сетки и формулы относится как раз к теории приближения
Вопрос 12. Приближение функций, метод наименьших квадратов
Пусть в результате изменений в процессе опыта получена таблица некоторой зависимости f:
x |
x1 |
x2 |
…. |
xn |
f(x) |
y1 |
y2 |
…. |
yn |
Нужно найти формулу, выражающую эту зависимость аналитически. То есть найти функцию заданного вида y=F(x) (*), которая в точках x1, x2, …, xn принимает значения как можно ближе к табличным значениям y1, y2, …, yn.
Практический вид приближающей функции F можно определить следующим образом. По таблице строится точечный график функции f, а затем проводится кривая по возможности наилучшим образом приближающая характер расположения точек.
По полученной таким образом кривой устанавливается вид приближающей функции. Формула (*) называется уравнением регрессии y на x.
Рассмотрим один из распространенных способов нахождения формулы (*). Предположим, что приближающая функция F в точках x1, x2, …, xn имеет значение y1*, y2*, …, yn* (**). Требование близости табличных значений y1, y2, …, yn и значений можно истолковать следующим образом. Будем рассматривать совокупность точек таблицы и (**) как координаты двух точек n-мерного пространства.
Задачу формируем таким образом: найти такую функцию F заданного вида, чтобы расстояние между точками M(y1, …, yn) и M*(y1*, …, yn*) было наименьшим, .т.е
что равносильно
Эта задача носит название приближения функции методом наименьших квадратов.
В качестве приближающих функций в зависимости от характера точечного графика функции f часто используют следующие функции:
Здесь a, b, c, n – параметры
Когда вид приближающей функции установлен, задача сводится только к отысканию значений параметров.
Рассмотрим метод нахождения параметров приближающей функции в общем виде на примере приближающих функции с тремя параметрами:
Имеем
i=1, …, n
Найдем параметры. Используем необходимое условие экстремума.
Введем обозначения:
(*)
Решив систему получим значения параметров a и b, следовательно конкретный вид линейной функции.
В случае нахождения приближающей функции в виде квадратного трехчлена:
(**)
Решение системы (**) дает значение параметров a, b, c для корректной квадратичной функции. Аналогично могут быть найдены функции в виде других элементарных функций.
То есть
Решив эту систему 3 уравнений с 3 неизвестными относительно параметров a, b, c, мы получим конкретный вид функции F(x,a,b,c).
Естественно ожидать, что значения найденной функции в точках x1, x2, …, xn будут отличаться от табличных значений y1, y2, …, yn. Значения разностей yi-F(xi,a,b,c)=i называются отклонениями эмпирической формулы должно быть наименьшей.
2.6.2. Нахождение приближающей функции в виде линейной функции и квадратного трехчлена (линейная и квадратичная регрессии)